Maximales Volumen der Pyramide

Question

Aufgabe:

Es ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD gegeben. Die Seiten des Quadrats sind 4 cm lang, die Höhe DS beträgt 6 cm. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt D der Grundfläche.

Nun werden die Seiten AB und DC um x cm verlängert und gleichzeitig wird die Höhe DS um x cm verkürzt. Dadurch entsteht eine neue Pyramide mit rechteckiger Grundfläche.

Für welchen Wert von x ist das Volumen der Pyramide maximal? Geben Sie außerdem das maximale Volumen an.

Problem/Ansatz:

Comments

Das ist eine Aufgabe. Was ist Deine Frage, Deine konkreten Vorüberlegungen dazu, was hast Du schon probiert?

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Die Pyramide ist schief, da S senkrecht über einem Eckpunkt der Grundfläche liegt.

Maximiere das Volumen der neuen Pyramide.

\( \displaystyle V= \frac{1}{3}\cdot \underbrace{4 \cdot (4+x)}_{\text{Grundfläche}}\cdot \underbrace{(6-x)}_{\text{Höhe}} \)

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@dö: So, wie du es aufgeschrieben hast, kann man beides im Kopf ausrechnen.

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.... kann man beides im Kopf ausrechnen.

Ja. Damit sollte sich Nutzer13637 gripstechnisch beschäftigen, und wenn nötig hier fragen. Wäre lehrreich.

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döscho, deine Volumenformel stimmt so?

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Guten Morgen Roland, ja, so verstehe ich die Aufgabe.

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Müsste es nicht \( \displaystyle V= \frac{1}{3}\cdot \underbrace{(4+x)^2}_{\text{Grundfläche}}\cdot \underbrace{(6-x)}_{\text{Höhe}} \) heißen?

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Es entsteht eine neue Pyramide mit rechteckiger Grundfläche.

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Und

Nun werden die Seiten AB und DC um x cm verlängert  

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Zur Klarstellung für den Fragesteller: Ich bleibe bei meiner Zielfunktion.

Jene von Roland impliziert, dass auch die Strecken BC und AD um x verlängert würden, so dass die Grundfläche wiederum quadratisch wäre.

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Müsste es nicht V = 1/3·(4+x)^2·(6-x) heißen?

Widerspricht das nicht

Dadurch entsteht eine neue Pyramide mit rechteckiger Grundfläche.

Mir ist klar, dass auch ein Quadrat rechteckig ist. Aber generell sollte man möglichst präzise sein und ein Quadrat auch quadratisch nennen, ansonsten sind solche Fragestellungen irreführend.

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Nach dem Satz des Cavalieri haben Pyramiden  mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe das gleiche Volumen  unabhängig von ihrer Form oder ob sie gerade oder schief sind.

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Und du hast die Aufgabe anscheinend nicht verstanden. Jedenfalls hat deine Bemerkung keinen Bezug zur Aufgabe, weil es hier weder um flächengleiche Grundflächen noch um Pyramiden identischer Höhe geht.

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Ich habe die Aufgabe wohl verstanden. Mein Kommentar bezieht sich auf die Spitze über einer Ecke.

Answer 1

döschwo hatte die zu maximierende Funktion bereits richtig angegeben

V = 1/3·4·(4 + x)·(6 - x)

Da es sich hier um eine quadratische Funktion handelt und wir die Nullstellen direkt mit x = -4 und x = 6 ablesen können, können wir auch schon direkt die x-Koordinate vom Scheitelpunkt angeben, welcher der Mittelwert der Nullstellen ist.

Sx = 1/2·(-4 + 6) = 1

Das Volumen ergibt sich, wenn wir für x also 1 in die Volumenformel einsetzen.

V = 1/3·4·(4 + 1)·(6 - 1) = 4/3·25 = 100/3 = 33 1/3 cm³

~plot~ 1/3·4·(4 + x)·(6 - x);{1|33.33};[[-5|7|-1|34]] ~plot~