Zur Produktion von drei Endprodukten…

Question

Aufgabe:

Zur Produktion von drei Endprodukten \( E_{1}, E_{2} \) und \( E_{3} \) werden fünf Rohstoffe \( R_{1} \), \( R_{2}, R_{3}, R_{4} \) und \( R_{5} \) benötigt. Für die Produktion einer Mengeneinheit (ME) eines Endproduktes ergibt sich das folgende Rohstoffmengengerüst:

      E1  E2  E3
--------------------
R1      8    7  10
R2    12    6    4
R3      9    9  14
R4      5  10  20
R5    27  18  20

Die zur Verfügung stehenden Rohstoffmengen sind:

 \( R_{1}=1780 ME\), \(R_{2}=1480 ME\), \( R_{3}=2300 ME\), \( R_{4}=2600 ME\) und \( R_{5}=4520 ME \).

Wie viele Mengeneinheiten der Erzeugnisse \( E_{1}, E_{2} \) und \( E_{3} \) können produziert werden, wenn die vorhandenen Rohstoffmengen ausgeschöpft werden sollen. (Beachten Sie: Mengenzahlen sind ganze positve Zahlen!)

Problem/Ansatz:

Aufgabe aus einer alten Klausur.

Wenn ich es als Gleichungssystem aufstelle sind das 5 Gleichungen mit drei Unbekannten, also fraglich ob es überhaupt Lösungen gibt und sieht auch nach einer längeren Rechnung aus.

Gibt es einen schnelleren Weg?

Comments

Mengenzahlen sind ganze positve Zahlen

Warum auch immer. Man könnte auch in Betracht ziehen, nicht alle Produkte herzustellen. Aber null wird bei dieser Aufgabe ausgeschlossen.

Es gibt trotzdem mehrere Lösungen. Zehn anstatt elf, wenn ich das richtig sehe.

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Warum auch immer.

Na ja, für die angegebenen ME ist das ja offensichtlich. Der Sinn der angegebenen und zu beachtenden Information besteht also vermutlich darin, die Lösungsmenge einzuschränken.

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Wenn ich es als Gleichungssystem aufstelle sind das 5 Gleichungen mit drei Unbekannten, also fraglich ob es überhaupt Lösungen gibt und sieht auch nach einer längeren Rechnung aus.

Es wäre wesentlich lehrreicher, das einfach mal selbst durchzurechnen, wenn man schon weiß, wie der Ansatz ist. Ob es dann wirklich eine lange Rechnung ist, sieht man erst dann. Aber vorher schon den Kopf in den Sand zu stecken, ist wenig hilfreich. Wenn das dann wirklich sehr lange dauert, kann man sich überlegen, ob es einen schnelleren Weg gibt, der dann vermutlich auch notwendig ist.

Answer 1

Du kannst zunächst den Gauss anwenden.

8·x + 7·y + 10·z = 1780
12·x + 6·y + 4·z = 1480 → 6·x + 3·y + 2·z = 740
9·x + 9·y + 14·z = 2300
5·x + 10·y + 20·z = 2600
27·x + 18·y + 20·z = 4520

5*II - I ; 5*III - 7*I ; IV - 2*I ; V - 2*I

22·x + 8·y = 1920
- 11·x - 4·y = -960
- 11·x - 4·y = -960
11·x + 4·y = 960

Schön. Jetzt kannst du 3 der Gleichungen schon rauswerfen.

11·x + 4·y = 960 --> y = 240 - 11/4·x Damit müsste x schon mal ein Vielfaches von 4 sein.
x = 4·k
y = 240 - 11·k

8·(4·k) + 7·(240 - 11·k) + 10·z = 1780 --> z = 10 + 9/2·k

Damit muss k ein Vielfaches von 2 sein k = 2·c

x = 8·c
y = 240 - 22·c
z = 10 + 9·c

Vermutlich langt es dem Lehrer, wenn du jetzt c auf die ganzen Zahlen im Intervall [1, 10] einschränkst, damit x, y und z positiv sind.

Ansonsten nachfragen, ob man ihm alle 10 Lösungen noch einzeln aufschreiben soll.

Comments

Je nachdem welches elektronische Hilfsmittel verwendet werden darf, geht das natürlich auch noch deutlich einfacher. Das wäre jetzt ja der handschriftliche Weg.

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Vielen Dank!

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Übrigens hätte ich persönlich die Mengenzahl 0 auch nicht ausgeschlossen, denn warum sollte es nicht möglich sein, von E1 eben nichts zu produzieren. Da kann man dann mit dem Lehrer mal drüber diskutieren, warum das hier so sein soll.

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Meine Frage war ja, ob das schneller geht als mit dem Gleichungssystem. Wie man das mit Gauss rechnet weiß ich, aber dann rechne ich lieber erst die anderen Aufgaben in der Klausur da bekam man die Punkte schneller und mache diese erst am ende wenn noch zeit ist.

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Das ist eine sehr sinnvolle Optimierungsstrategie, die Ökonomen nennen es "Rucksackproblem".

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Dein Ansatz zuerst die leicht erreichbaren Punkte einzusammeln ist schon recht gut.

Der Ansatz ist vor allem gut, wenn man weiß, dass man eh mit der Zeit nicht gut auskommt.

Ich bevorzuge meist eine andere Strategie, aber das ist eben eine persönliche Vorliebe und hängt auch damit zusammen, dass ich eigentlich in Mathematik nie Zeitprobleme hatte.