Bestimmen Sie jeweils (falls nicht schon angegeben) den Definitionsbereich D in dem die Funktionen umkehrbar sind …

Question

Aufgabe:

Bilden Sie die Umkehrfunktionen \( f^{-1} \)(x). Bestimmen Sie jeweils (falls nicht schon angegeben) den Definitionsbereich D in dem die Funktionen umkehrbar sind und den Wertebereich W von f(x):

(a) f(x) = \( \sqrt{1-x^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Als Lösung ist angegeben:

(a) D = [-1,1], W = [-1,1], \( f^{-1} \)(x) = \( \sqrt{1-x^{2}} \)

Das kann ich wieder nicht nachvollziehen. Der Wertebereich von f(x) ist doch immer positiv? Und damit die Funktion umkehrbar ist muß man sie doch einschränken? Oder ist das so mit der Lösung gemeint?

Frohe Weihnachten :-)

Answer 1

Frohe Weihnachten!

\(D = \left[-1,\,1\right]\) ist der maximale Definitionsbereich in \(\mathbb{R}\).

\(W = \left[-1,\,1\right]\) ist ein möglicher Wertebereich, der nicht mit dem Bildbereich übereinstimmen muss.

Wie sehen denn Aufgabe und Lösung exakt (Foto) aus?

Comments

Ich habe die Rückfrage gestellt, weil schon die angegebene Aufgabenstellung unvollständig ist (zur Funktion \(f\) ist kein Definitionsbereich angegeben, weswegen die Funktion also gar keine Funktion im üblichen Sinne ist), und außerdem die mitgeteilte Lösung offensichtlich falsch ist. Natürlich kann es auch sein, dass die Angaben einfach nicht zusammenpassen.

---

Sieht exakt so aus:

---

Vielen Dank für die Klarstellung. Du hattest im wesentlichen Recht. Das Problem ist – wie du vermutest hattest – die Aufgabe.

---

Wenn man die Einschränkung auf D = W = [0 ; 1] vornimmt, dann erhält man eine umkehrbare Funktion, die dann wie folgt aussieht: