Bestimme eine explizite Darstellung der Folge

Question

Aufgabe:

Die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) sei gegeben durch die Anfangswerte \( x_{0}=-3 \) und \( x_{1}=-8 \) sowie die folgende Rekursionsgleichung:

\( x_{n} \coloneqq 2 x_{n-1}+3 x_{n-2} \quad , \quad n \geq 2 \)

Bestimme eine explizite Darstellung der Folge.

Problem/Ansatz:

Wie geht man so etwas an? Probieren oder kann man das berechnen?

Comments

\(\displaystyle x_{n}=-\frac{11}{4} 3^{n}-\frac{1}{4}(-1)^{n}\quad ; \quad n \in \mathbb{N}_{0} \)

Zahlreiche Anleitungen in Text und Video finden sich mit google convert recursive to explicit sequence

Answer 1

Erstelle erstmal aus der rekursiven Definition das charakteristische Polynom. Dabei ersetzt du wie folgt

\( x_n = 2x_{n-1} + 3x_{n-2} \)
\( k^2 = 2k + 3 \) mit den Nullstellen \( k_1 = 3 \) und \( k_2 = - 1 \)

Damit sieht die allgemeine Gleichung zunächst so aus:

\( x_n = a \cdot 3^n + b \cdot (-1)^n \)

Setzt jetzt für n = 0 und n = 1 den allgemeinen Term mit den Startwerten gleich und löse das entstehende Gleichungssystem.

\( x_0 = a \cdot 3^0 + b \cdot (-1)^0 = a + b = - 3 \)
\( x_1 = a \cdot 3^1 + b \cdot (-1)^1 = 3a - b = - 8 \)

Ich erhalte die Lösung \( a = - 2.75 \) und \( b = - 0.25 \)

Damit ist der explizite Term:

\( x_n = - 2.75 \cdot 3^n - 0.25 \cdot (-1)^n \)