Komplexe Zahlen - Gleichung lösen

Question

Hallo Lounger,

Die Aufgabe lautet:

Lösen Sie die Gleichung
\( z^{3}=8 j \)
in der Menge der komplexen Zahlen.
Geben Sie alle drei Lösungen in Polarform und in kartesischer Form an

Problem/Ansatz: Ich habe leider nicht den Hauch eines Ansatzes und freue mich über jede Hilfe.

Danke und Gruß, Silvia

Comments

Vielleicht so: \(0=z^3-8j=z^3+(2j)^3=(z+2j)\cdot(z^2-2zj-4)\).

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Danke, damit passen auch die Lösungen von Wolframalpha, aber darauf wäre ich wirklich nicht gekommen.

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Vielleicht sollte die Aufgabe auch dazu dienen, den Ansatz

$$z=r\exp(i\phi)$$

Zu üben?

Was den Ansatz von A angeht: Rate eine Lösung und Spalte den entsprechenden Linearfaktor ab

Answer 1

z = a + bi

z^3 = (a + bi)^3 = (a + bi)^2*(a + bi) = (a^2 + 2abi - b^2)*(a + bi) = (3a^2·b - b^3)i + (a^3 - 3ab^2) = 8i

Also jetzt Koeffizientenvergleich machen

a^3 - 3ab^2 = 0
3a^2·b - b^3 = 8

Willst du es mal probieren?

Comments

Danke, Coach, das mache ich auf jeden Fall, aber erst morgen, denn bald ist Handball-Zeit und ich brauche Hilfe zu einer weiteren Aufgabe, die ich noch einstellen muss.

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Wenn du es morgen vielleicht probiert, dann könntest du auch sagen ob du die Polarform schon kennst und ob du 8i in der Polarform darstellen kannst.

In der Polarform schreibst du komplexe Zahlen mit der Länge und dem Winkel. Und nicht mit Real- und Imaginär-Anteil.

Answer 2

Die Lösungen in der komplexen Zahlenebene liegen auf einem Kreis mit dem Radius \(\sqrt[3]{8}=2\) und dritteln diesen, weshalb sich die Winkel um je 120° unterscheiden.

Die erste Lösung bekommt man durch stumpfes Ziehen der dritten Wurzel, wenn man die Polarform \(z=r\mathrm{e}^{\mathrm i\pi\varphi}\) verwendet. Beim Wurzelziehen wird vom Betrag entsprechend die Wurzel gezogen und der Winkel gedrittelt. Ausgehend von dieser Lösung findet man die anderen Lösungen durch Addition von 120° bzw. 240° zum Winkel.

Das funktioniert bei sämtlichen Gleichungen der Form \(z^n=w\).

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

In deinen Unterlagen sollte es irgendwo etwas Entsprechendes geben, also was die Lösung solcher Gleichungen angeht.

Warum die hier vorgeschlagenen Ansätze diesen Standardweg nicht aufgreifen, ist mir unklar. Es ist allerdings überhaupt nicht schlimm, dass du darauf nicht gekommen wärst; das ist nämlich überhaupt nicht nötig.

Answer 3

Aloha :)

Vielleicht hilft dir die folgende Umformung weiter:$$z^3=8i=8i\cdot\underbrace{(-i^2)}_{=1}=-8i^3=(-2)^3\cdot i^3=(-2i)^3$$

Daraus kannst du eine der insgesamt drei Lösungen sofort ablesen: \(z_1=-2i\).

Die komplexe Zahl \((-i)\) wird in der Gauß'schen Zahlenebene durch den Vektor \(\binom{0}{-1}\) beschrieben. Dieser ist um den Winkel \(270^\circ\) von der Realteil-Achse \(\binom{1}{0}\) ausgehend um den Ursprung gedreht. Daher lautet die Polardarstellung:$$z_1=-2i=2\cdot(-i)=2\cdot e^{i\cdot270^\circ}$$

Die insgesamt 3 Lösungen liegen in der Gauß'schen Zahlenebene symmetrsich auf einem Kreis um den Ursprung herum. Der Radius ist der Betrag von \(z_1\), also \(|z_1|=2\). Die drei Lösungen zerteilen den Kreis in drei gleichgroße Kreissegmente mit einem Öffnungswinkel von jeweils \(\frac{360^\circ}{3}=120^\circ\).

Daher kannst du die beiden fehlenden Lösungen direkt angeben:$$z_2=2\cdot e^{i\cdot(270^\circ-120^\circ)}=2\cdot e^{i\cdot150^\circ}$$$$z_3=2\cdot e^{i\cdot(270^\circ-2\cdot120^\circ)}=2\cdot e^{i\cdot30^\circ}$$

In der Polardarstellung kannst du die Winkel auch noch von Grad in Rad umformen, indem du sie mit \(\frac{\pi}{180^\circ}\) multiplizierst. Viele Profs haben das gerne.

Die Darstrellung der Lösungen mit Real- und Imaginärteil erhältst du mit der Euler-Formel$$e^{i\varphi}=\cos\varphi +i\cdot\sin\varphi$$