Konvergenzradius von Potenzreihe bestimmen: ∑k=0^∞ (1/(k^2+1))*x^k

Question

bei der folgende Aufgabe soll ich die Konvergenzradius bestimmen. Wäre klasse wenn mir jemand den Lösungsweg erklären könnte.

∑_k=0^∞   = (1/(k²+1))*x^k

 

∑_k=1^∞= 1/ (3k+k³)*x^k

 

mfg

Answer 1

$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }+1 }  }{ \frac { 1 }{ { (k+1) }^{ 2 }+1 }  }  \right|  }$$Zähler und Nenner positiv, also kann man die Betragsstriche weglassen:$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }+1 } \frac { { (k+1) }^{ 2 }+1 }{ 1 }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { (k+1) }^{ 2 }+1 }{ { k }^{ 2 }+1 }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { k^{ 2 }+2k }+2 }{ { k }^{ 2 }+1 }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { 1+\frac { 2 }{ k }  }+\frac { 2 }{ { k }^{ 2 } }  }{ { 1 }+\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } }  }  }$$$$=\frac { { 1+0+0 } }{ { 1 }+0 }$$$$=1$$

$$r=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ { 3k+k }^{ 3 } }  }{ \frac { 1 }{ { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } }  }  \right|  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { 3k+k }^{ 3 } } \frac { { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } }{ 1 }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } }{ { 3k+k }^{ 3 } }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { { k }^{ 3 }+3k^{ 2 }+6k }+4 }{ { 3k+k }^{ 3 } }  }$$$$=\lim _{ k\rightarrow \infty  }{ \frac { { 1+\frac { 3 }{ k }  }+\frac { 6 }{ { k }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ { k }^{ 3 } }  }{ { \frac { 3 }{ { k }^{ 2 } }  }+1 }  }$$$$=\frac { { 1+0+0+0 } }{ { 0+1 } }$$$$=1$$

Comments

Vielen Dank! Nur noch eine Frage. Wenn der Term innerhalb des Betrages negativ wäre, müsste man dann eine Fallunterscheidung machen?

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Nein, es gilt ja (siehe Definition des Betrags):

| x | = - x , falls x < 0

Wenn also der Quotient a_n / a_n+1 negativ ist, dann kannst du die Betragsstriche auch weglassen, musst dafür aber den Quotienten mit einem negativen Vorzeichen versehen.

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Nochmal Danke. Alles klar.