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bei der folgende Aufgabe soll ich die Konvergenzradius bestimmen. Wäre klasse wenn mir jemand den Lösungsweg erklären könnte.

k=0   = (1/(k2+1))*xk

 

k=1= 1/ (3k+k3)*xk

 

mfg

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r=limkakak+1r=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } } \right| }=limk1k2+11(k+1)2+1=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }+1 } }{ \frac { 1 }{ { (k+1) }^{ 2 }+1 } } \right| }Zähler und Nenner positiv, also kann man die Betragsstriche weglassen:=limk1k2+1(k+1)2+11=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { k }^{ 2 }+1 } \frac { { (k+1) }^{ 2 }+1 }{ 1 } }=limk(k+1)2+1k2+1=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { (k+1) }^{ 2 }+1 }{ { k }^{ 2 }+1 } }=limkk2+2k+2k2+1=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { k^{ 2 }+2k }+2 }{ { k }^{ 2 }+1 } }=limk1+2k+2k21+1k2=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { 1+\frac { 2 }{ k } }+\frac { 2 }{ { k }^{ 2 } } }{ { 1 }+\frac { 1 }{ { k }^{ 2 } } } }=1+0+01+0=\frac { { 1+0+0 } }{ { 1 }+0 }=1=1

r=limkakak+1r=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \left| \frac { { a }_{ k } }{ { a }_{ k+1 } } \right| }=limk13k+k313(k+1)+(k+1)3=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \left| \frac { \frac { 1 }{ { 3k+k }^{ 3 } } }{ \frac { 1 }{ { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } } } \right| }=limk13k+k33(k+1)+(k+1)31=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { 3k+k }^{ 3 } } \frac { { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } }{ 1 } }=limk3(k+1)+(k+1)33k+k3=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { 3(k+1)+(k+1) }^{ 3 } }{ { 3k+k }^{ 3 } } }=limkk3+3k2+6k+43k+k3=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { { k }^{ 3 }+3k^{ 2 }+6k }+4 }{ { 3k+k }^{ 3 } } }=limk1+3k+6k2+4k33k2+1=\lim _{ k\rightarrow \infty }{ \frac { { 1+\frac { 3 }{ k } }+\frac { 6 }{ { k }^{ 2 } } +\frac { 4 }{ { k }^{ 3 } } }{ { \frac { 3 }{ { k }^{ 2 } } }+1 } }=1+0+0+00+1=\frac { { 1+0+0+0 } }{ { 0+1 } }=1=1
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 Nur noch eine Frage. Wenn der Term innerhalb des Betrages negativ wäre, müsste man dann eine Fallunterscheidung machen?

Nein, es gilt ja (siehe Definition des Betrags):

| x | = - x , falls x < 0

Wenn also der Quotient an / an+1 negativ ist, dann kannst du die Betragsstriche auch weglassen, musst dafür aber den Quotienten mit einem negativen Vorzeichen versehen.

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