Funktion mit Parameter y=(1/4) (a-x)² ((a/2)+x). Fallunterscheidung für die Nullstellen.

Question

y=(1/4) (a-x)² ((a/2)+x)  ; definitionsbereich: a kleiner gleich 0

Untersuchen sie die Funktion auf Art und Lage ihrer Nullstellen in Abhängigkeit von a (Fallunterscheidung)

Bitte um Lösung

Lg

Peter

Answer 1

Hallo Peter,

y = (1/4) (a-x)² ((a/2)+x)  ; definitionsbereich: a kleiner gleich 0
ist mathematisch nicht so ganz richtig
y = (1/4) * ( a - x )²  * ( (a/2) + x )  ; a ≤ 0 ; D = ℝ
Der Definitionsbereich hat keine Einschränkungen.

Nullstellen
Ein Produkt ist dann gleich 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
( a - x)^2 = 0  enstpricht
a - x = 0
x = a

a/2 + x = 0
x = -a/2

Die Funktion hat 2 Nullstellen
N ( a | 0 )
N ( -a/2 | 0 ) / Schnittpunkt

N ( a | 0 ) ist ein Berührpunkt. Hier
berührt die Funktion die x-Achse

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mfg Georg

Comments

Bezüglich der Fallunterscheidung würde ich noch etwas ergänzen:

Du weist: x1/2=a  und x3=-a/2

Und jetzt schau dir dochmal an, wann x1/2=x3 ist.

Das passiert, wenn; a=-a/2  /*2

2a=-a  /+a

3a=0

Daraus folgt, wenn a=0 haben wir eine dreifache Nullstelle.

Wenn a≠0 bleibt x1/2=a und x3=-a/2

@Georgborn: Sehe ich das richtig oder habe ich mich geirrt? Bin schließlich noch Schüler. Deswegen bin ich mir nicht zu 100% sicher ;)

LG

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@simon_W
Mein Lob für diesen Hinweis. Der Nachweis
wurde etwas umständlich geführt.

Ich schrieb :
Die Funktion hat 2 Nullstellen
N ( a | 0 )
N ( -a/2 | 0 ) / Schnittpunkt

Falls a = 0 dann ergibt
N ( 0 | 0 )
N ( 0 | 0 )
Also nur eine Nullstelle.

Oder
Falls a = 0 dann ergibt
y = (1/4) (a-x)² ((a/2)+x)
y = (1/4) (x)² (x)
y = 1/4 * x^3 = 0
x = 0

Oder
f ( x ) = 0 Berührpunkt 1.Ordnung ( Schnittpunkt )
und falls
f ´ ( x  ) = 0 Berührpunkt 2. Ordnung ( Tangente, Hoch-Tiefpunkt )
und falls
f ´´( x ) = 0 Berührpunkt 3.Ordnung ( Sattelpunkt )

Kann ich hier noch vorführen oder Ihr probiert es
selbst einmal.

mfg Georg

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Aber vom Prinzip her ist meine Lösung vergleichbar mit deiner, bzw. das Gleiche?

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@simon_w

Dein Gedankengang
" Das passiert, wenn; a = -a/2 "
ist doch korrekt und entspricht meiner Lösung.

Der Fachmann " sieht " bereits jetzt schon, die einzige
Lösung  damit die Aussage " a=-a/2 " wahr wird
ist a = 0.

Eigene Lösungen kann man dadurch überprüfen indem
man die Probe macht. Eine Probe die stimmt gibt dir auch
Gewißheit.

mfg Georg