Sandwich Theorem beweisen (mit Bild)

Question

Die Aufgabenstellung steht bei "Behauptung".

Ich habe versucht so da ranzugehen aber ich weiß echt nicht wie man es beweisen soll.
Eigentlich ist es trivial.
Wenn 5 = x ≤ y ≤ z = 5 , dann sind ja auch x,y,z = 5.

Answer 1

Sei  $\epsilon>0$ beliebig. Da $a_n$ und $c_n$ gegen $b$ konvergieren, gibt es $n_1,n_2\in\mathbb N$ mit $\vert a_n-b\vert<\epsilon$ für alle $n>n_1$ und $\vert c_n-b\vert<\epsilon$ für alle $n>n_2$. Sei $N:=\max\{n_1,n_2\}$. Nach Voraussetzung gilt dann für alle $n>N$
$b-\epsilon< a_n\leq b_n\leq c_n< b+\epsilon$.
Daraus folgt $\vert b_n-b\vert<\epsilon$ und daraus die Behauptung.