Zeigen Sie anhand des Graphen, dass die Gleichung für jeden Wert von a gültig ist

Question

d) Die Abbildung 3 zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f'. Dieser Graph weist eine Achsensymmetrie auf.

1) Zeichnen Sie die Symmetrieachse des Graphen von f ' in die Abbildung 3 ein.

2) Die Achsensymmetrie des Graphen von f ' kann durch die Gleichung f ' (2-a) = f ' (2+a) beschrieben werden.

Zeigen Sie anhand des Graphen, dass die Gleichung f ' (2-a) = f ' ( 2+a) für jeden Wert von a gültig ist.

Answer 1

zu 1) Wenn ich das richtig verstehe, ist die Symmetrieachse bei x = 2, also bei x = 2 eine senkrechte Linie ziehen.

zu 2) Der Graph von f' ist eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt (2|-2). Dafür kann man eine allgemeine Funktionsgleichung aufstellen:

f'(x) = a*x² + b*x + c (1)

Aus dem Graphen können wir drei markanten Punkte ablesen, nämlich

P1 (0|0), P2 (4|0) und P3 (2|-2)

Diese Punkte setzen wir in Gl. (1) ein und erhalten ein lineare Gleichungssystem:

P1: 0 = a*0² + b*0 + c -> c = 0

P2: 0 = a*4² + b*4 + c = 16*a + 4*b -> b = -4*a

P3: -2 = a*2² + b*2 + c = 4*a + 2*b

Mit  b = -4*a in -2 = 4*a + 2*b erhalten wir -2 = 4*a + 2*(-4*a) = -4*a -> a = 1/2

Aus b = -4*a mit a = 1/2 folgt b = -2

-> Graph von f'(x) = x²/2 - 2*x 

Nun zeigen wir noch

f'(2 - a) = (2 - a)²/2 - 2*(2 - a) = (4 - 4*a + a²)/2 - 4 + 2*a =  a²/2 - 2 und

f'(2 + a)= (2 + a)²/2 - 2*(2 + a) = (4 + 4*a + a²)/2 - 4 - 2*a =  a²/2 - 2

Daraus folgt, dass f'(2 - a) = f'(2 + a) ist.