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Gegeben sei ein Körper K und A ∈ K^{n×n}. Zeigen Sie: Wenn A invertierbar ist, dann existiert
p ∈ K[T], so dass gilt:
p(A) = A^{−1}.
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Nimm irgendein Polynom f mit f(A)=0, z.B. das charakteristische. Setze $$p:=\frac{f-det(A)}{-det(A)X}$$. Dann ist $$A\cdot p(A)= \frac{f(A)-det(A)}{-det(A)}=E$$.
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Hi,
ich versteh da ein paar Dinge nicht. Wovon hängt p ab, wahrscheinlich von X, oder? Ist dann der Ausdruck so gemeint
$$ p(X)=\frac{f(X)-detA}{-detA\cdot X} $$
Ist \( f(X) \) ein Skalar oder eine Matrix? Da Du für X die Matrix A eingesetzt hast, gehe ich davon aus das f(X) eine Matrix ist, dann kann man aber keine reelle Zahl wie die Determinate, abziehen.

Kannst Du das nochmal detaillierter erklären?
ich finde die Frage noch interessanter, ob das X im Nenner bei einem Korrekteur so durchgehen wird
f und p sind Polynome in X. Der Ausdruck ist so gemeint wie ich ihn geschrieben hab: f ist das Polynom, da besteht keine Notwendigkeit f(X) zu shreiben. f(X) hast du hier eingeführt, daher keine Ahnung was es ist. f ist bei mir ein Polynom wie gesagt. Und von einem Polynom kann ich ein Skalar abziehen. Im Gegensatz dazu ist f(A) ein Matrix. Und reelle Zahlen werden hier nicht betrachtet , der Körper ist beliebig.
@hj21: Ja wird's. Der Korrektor wird zu Recht wohl noch eine Begründung dafür, dass p ein polynom ist sehen wollen.
Hi,
bei Deiner Rechnung kommt die Einheitsmatrix E raus und das versteh ich nicht. Wenn Du Skalare von einander abziehst und dividierst gibt da niemals eine Matrix. Dazu würde ich gerne eine Erklärung haben.
Ist $$P=a_nX^n +\ldots +a_0$$ so wird $$P(A):=a_nA^n +\ldots +a_0E\in Mat(K)$$ definiert.("Einsetzhomomorphismus"). Ich ging davon aus, dass sowas vor Aufgabenstellung definiert wurde, P(A) macht sonst nicht viel Sinn.
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wir setzen ohne Beschränkung der Allgemeinheit voraus, dass die Matrix \( A \) in Diagonalform vorliegt. Dann liegt auch ihr Inverses \( A^{-1} \) in Diagonalform vor.

für \( A \in K^{n \times n} \) ist \( p(T) \) eine Abbildung gemäß \( p : K^{n \times n} \rightarrow K^{n \times n} \).

(Dies geht aus der Forderung \( p(A) = A^{-1} \) hervor.)

\( p \) bildet also Matrizen auf Matrizen ab.

Zu zeigen ist also, dass es ein Polynom  \( p(T) = \sum_{i=0}^{d} a_i T^i \) mit einem Grad \( d \) gibt, sodass

\( A \circ p(A) = A \circ \sum_{i=0}^{d} a_i A^i = \sum_{i=0}^{d} a_i A^{i+1} = \sum_{i=1}^{d+1} \hat{a}_i A^{i} = E \).

Beschränken wir den Grad \( d+1 \) durch \( d +1 = n \) (eine geeignete Vermutung, wie sich später zeigt), so erhalten wir \( n \) Gleichungen

\( \sum_{i=1}^{n} \hat{a}_i \lambda_j^i = 1 \), \( j = 1 \dots n \)

mit den \( i \)-ten Potenzen der Diagonalelemente \( \lambda_j \) der Matrix \( A \).

Dies sind \( n \) Gleichungen in \( n \) Variablen \( \hat{a}_i \), für die es mindestens eine Lösung gibt. Wäre \( A \) nicht invertierbar, so verschwände wenigstens ein \( \lambda_j \) (bzw. seine \( i \)-ten Potenzen \( \lambda_j^i \)), sodass das Gleichungssystem nicht lösbar wäre.

Durch die Rückindizierung \( a_i \equiv \hat{a}_{i+1} \) mit \( i = 0 \dots n-1 \) sind die Koeffizienten \( a_i \) des Polynoms \( p \) gefunden.

MfG

Mister
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