Wie viele invertierbare Matrizen gibt es

Question

Hallo:

Wie viele invertierbare (3x3)-Matrizen gibt es in ℤ₂ ?

Hinweis: Die Spalten sind linear unabhängig.

 

Wie beweist man so etwas?

Comments

Kann mir keiner einen Tipp geben?

Answer 1

Eine Matrix ist genaudann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind:

die erste Spalte darf also nicht Null sein, d.h. für die 1-te Spalte gibt es $8-2^0=7$ Möglichkeiten.

Die zweite Spalte darf nicht im Span der ersten Spalte liegen. Dieser besteht aus 2 Vektoren,

also bekommen wir für die 2-te Spalte für jeden Wert der ersten Spalte $8-2^1=6$ Möglichkeiten.

Die dritte Spalte darf nicht in dem Unterraum liegen, der von den ersten beiden Spalten

aufgespannt wird. Dieser Unterraum enthält $2^2=4$ Vektoren, also gibt es für die

3-te Spalte noch $8-2^2=4$  Möglichkeiten, insgesamt also $7\cdot 6\cdot 4=168$.