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bei den neuen Monotonie-Videos bei den Funktionen sind wir auf ein Problem gestoßen, wie man die Notation des Pfeils richtig liest:

x1 < x2 f(x1) < f(x2)

 

Erste Variante:

Der Pfeil ist ein Folgepfeil, also liest man aus x1 < x2 folgt f(x1) < f(x2).

 

Zweite Variante:

Es gab jedoch dazu Einwände, dass es gelesen ein und sein sollte, da nur die Gesamtaussage zu betrachten ist. Die Aussage ist demnach zu lesen als: Wenn x1 < x2 und f(x1) < f(x2), dann gilt strenge Monotonie.

 

Mein Ansatz tendiert zu der ersten Variante:

Aus der Aussage x1 < x2 folgt die Aussage f(x1) < f(x2), und dann gilt strenge Monotonie. Gilt die "Gesamtaussage" nicht, dann haben wir auch keine strenge Monotonie.

 

Freue mich über eure Kommentare bzw. über eine klärende Antwort.

Liebe Grüße
Kai

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2 Antworten

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Beste Antwort

Die Bedingung für strenge Monotonie einer Funktion f ( x ) mit dem Definitionsbereich D ist:

x1,x2 ∈ D  x1 < x2 f ( x1) < f ( x2)

Wichtig dabei ist der Allquantor zu Beginn.

Eine Funktion f ( x ) ist  nämlich genau dann streng monoton, wenn der logische Term

x1 < x2 f ( x1) < f ( x2)

für alle x1, x2 ∈ D , also für jede beliebige Belegung dieser Variablen mit Werten aus D den Wert WAHR liefert.

 

Würde man nun den Folgepfeil als "und" lesen, würde man also die Bedingung für strenge Monotonie so auffassen:

x1,x2 ∈ D  x1 < x2 und f ( x1) < f ( x2)

dann gäbe es überhaupt keine streng monotone Funktion, weil diese Bedingung nicht erfüllbar ist!

Sofern nämlich der Definitionsbereich D einer Funktion f ( x ) mindestens zwei verschiedene Werte enthält (und nur dann sind Monotoniebetrachtungen ja überhaupt erst sinnvoll), kann man x1 und x2 so mit diesen Werten belegen, dass gilt: x1 > x2 . Dann aber liefert der Term

x1 < x2 und f ( x1) < f ( x2)

den Wert "FALSCH".
Das aber bedeutet, dass dieser Term nicht für alle x1, x2 ∈ D den Wert WAHR liefert und somit die Bedingung

x1,x2 ∈ D  x1 < x2 und f ( x1) < f ( x2)

nicht erfüllt ist.   

 

Der Folgepfeil ist also unbedingt als solcher aufzufassen, nicht als "und".

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Ich kenne den Pfeil nur als Zeichen für " daraus folgt ".

mfg Georg
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