Pythagorasbaum - Herleitung Dreieck

Question

wie leitet man genau das x^4+x^2=1 für das Dreieck her? 
http://www.brefeld.homepage.t-online.de/pythagorasbaum.html

Answer 1

Das steht doch in dem Absatz:

Betrachten wir dazu die drei Fälle, wie die vorletzten Verzweigungen eines Baumes fortgesetzt werden können (gelbe Dreiecke in der Abbildung unten links). Fall 1 scheidet als Lösung aus, weil beispielsweise das linke der vier Blätter kleiner sein muss als die beiden rechten Blätter und damit mindestens drei Blattgrößen vorhanden wären. Genauso muss im Fall 2 das rechte Blatt größer sein als die beiden linken. Nur im Fall 3 können wir erreichen, dass die beiden äußeren Blätter gleich groß sind und es dann nur zwei Blattgrößen gibt. Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die ihrer längeren Kathete gleich x gesetzt. Dann ist wegen der Ähnlichkeit mit dem roten Dreieck dessen längere Kathete gleich x². Da sie gleich der kürzeren Kathete des gelben Dreiecks sein soll, lautet der Pythagorassatz für dieses Dreieck:

x⁴ + x² = 1

 

Lies diesen Absatz mal Satz für Satz durch und versuche es nachzuvollziehen was dort gesagt wird.

Comments

Mal ehrlich: Hast DU das auf Anhieb verstanden? Ich nicht.

Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die ihrer längeren Kathete gleich x gesetzt.

Hier verstehe ich nicht, worauf sich das ihrer bezieht. Zwar sind (bis auf "Dreieck") alle in diesem Satz auftretenden Hauptwörter weiblich, aber weder Herleitung noch Bedingung noch Länge noch Hypotenuse haben eine Kathete, deren Länge man gleich x setzen könnte ... :-)

Die Länge welcher Kathete von welchem Dreieck wird also nun gleich x gesetzt?

Man kann nur vermuten, dass der Autor nicht ihrer sondern seiner meint, also:

Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die seiner längeren Kathete gleich x gesetzt.

und dass somit die längere Kathete des gelben Dreiecks gemeint ist, deren Länge gleich x gesetzt wird.

Weiter heißt es:

Dann ist wegen der Ähnlichkeit mit dem roten Dreieck dessen längere Kathete gleich x².

Hier hätte ich mir einen kurzen Hinweis gewünscht, wie sich das mit der Ähnlichkeit verhält, etwa so:

Sei x ' die längere Kathete des roten Dreiecks. Dann gilt aufgrund der Ähnlichkeit des gelben und des roten Dreiecks:

x ' / x = x / 1 <=> x ' = x ²

Schließlich heißt es:

Da sie gleich der kürzeren Kathete des gelben Dreiecks sein soll (warum?) , lautet der Pythagorassatz für dieses Dreieck:

Hier hatte ich zunächst Schwierigkeiten zu verstehen, worauf sich das sie bezieht und welches Dreieck gemeint ist, das gelbe oder das rote. Der Schuss mit dem Satz des Pythagoras kommt dann auch zu schnell und hilft nicht wirklich weiter. Besser wäre vielleicht gewesen:

Damit zwei gleich große Blätter entstehen, muss die kürzere Kathete des gelben Dreiecks genau so lang sein, wie die längere Kathete des roten Dreiecks. Das gelbe Dreieck hat somit Katheten der Länge x bzw. x ² sowie eine Hypotenuse der Länge 1. Damit gilt für das gelbe Dreieck nach dem Satz des Pythagoras:

( x ² ) ²   + x ² = 1 ² 
<=> x ⁴ + x ² = 1

So hätte ich es (vielleicht) auf Anhieb verstanden ... :-)

 

Ich finde es einfach ungünstig, in solchen Texten so häufig wie vorliegend Possessiv-,  Reflexiv- und Demonstrativpronomen zu verwenden, insbesondere dann, wenn sie zudem gelegentlich auch noch falsch gebildet bzw. verwendet werden.

Answer 2

Nur im Fall 3 können wir erreichen, dass die beiden äußeren Blätter gleich groß sind und es dann nur zwei Blattgrößen gibt. Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die ihrer längeren Kathete gleich x gesetzt. Dann ist wegen der Ähnlichkeit mit dem roten Dreieck dessen längere Kathete gleich x². Da sie gleich der kürzeren Kathete des gelben Dreiecks sein soll, lautet der Pythagorassatz für dieses Dreieck:

x⁴ + x² = 1

Ich versuche mal, diesen Absatz etwas klarer zu formulieren:

Nur im Fall 3 können wir erreichen, dass die beiden äußeren Blätter gleich groß sind und es dann nur zwei Blattgrößen gibt. Zur Herleitung der dafür notwendigen Bedingung wird die Länge der Hypotenuse des gelben Dreiecks gleich 1 und die seiner längeren Kathete gleich x gesetzt. Damit hat auch die Hypotenuse des roten Dreiecks die Länge x.

Sei nun x ' die längere Kathete des roten Dreiecks. Dann gilt aufgrund der Ähnlichkeit des gelben und des roten Dreiecks:

x ' / x = x / 1 <=> x ' = x ²

Die längere Kathete x ' des roten Dreiecks hat also die Länge x ² . Damit nun zwei gleich große Blätter entstehen, muss die kürzere Kathete des gelben Dreiecks genau so lang sein, wie die längere Kathete des roten Dreiecks, muss also ebenfalls die Länge x ² haben.

Das gelbe Dreieck hat somit Katheten der Länge x bzw. x ² sowie eine Hypotenuse der Länge 1. Damit gilt für das gelbe Dreieck nach dem Satz des Pythagoras:

( x ² ) ²   + x ² = 1 ² 
<=> x ⁴ + x ² = 1

 

Kannst du es so besser verstehen?