Lineares Gleichungssystem mit 4 Variablen

Question

kann mir jemand helfen dieses Gleichungsystem zu lösen?

a  +  b  +  c  +  d  =  5

a  -  b  +  c  +  d  =  1

-a  +  b  -  c  +  d  =  5

a  -  b  -c  -  d  =  -3


Danke schonmal vorab!

Answer 1

a + b + c + d = 5
a - b + c + d = 1
-a + b - c + d = 5
a - b - c - d = -3

II - I, III + I, IV - I

- 2·b = -4
2·b + 2·d = 10
- 2·b - 2·c - 2·d = -8

Nun ist schon die Stufenform gegeben

- 2·b = -4 --> b = 2

2·2 + 2·d = 10 --> d = 3

- 2·2 - 2·c - 2·3 = -8 --> c = -1

a + 2 + (-1) + 3 = 5 --> a = 1

Comments

a + b + c + d = 5
a - b + c + d = 1
-a + b - c + d = 5
a - b - c - d = -3

I - II

2·b = 4 --> b = 2

II + III

2·d = 6 --> d = 3

III + IV

- 2·c = 2 --> c = -1

I + IV

2·a = 2 --> a = 1

Answer 2

1.) a  +  b  +  c  +  d  =  5
2. ) a  -  b  +  c  +  d  =  1  | abziehen
-----------------------------
2 * b = 5 - 1
b = 2

2.) a  -  2  +  c  +  d  =  1
3.)-a  +  2  -  c  +  d  =  5

2.) a  +  c  +  d  =  3
3.)-a  -  c  +  d  =  3  | addieren
-------------------------

2 * d = 6
d = 3

3.)  -a  +  b  -  c  +  d  =  5
4.)  a  -  b  -c  -  d  =  -3

3.)  -a  +  2  -  c  +  3  =  5
4.)  a  -  2  -c  -  3  =  -3

3.)  -a  -  c    =  0
4.)  a   - c    =  2  |  addieren
-----------------------
- 2 * c = 2
c = -1

1.) a  +  b  +  c  +  d  =  5
1.) a  +  2  +  (-1) +  3  =  5
a = 1

Proben
a = 1
b = 2
c = -1
d = 3
a  +  b  +  c  +  d  =  5
1 + 2 + (-1) + 3 = 5
5 = 5
a  -  b  +  c  +  d  =  1
1 - 2 +(-1) + 3 = 1
1 = 1
-a  +  b  -  c  +  d  =  5
-1 + 2 -(-1) + 3 = 5
5 = 5
a  -  b  -c  -  d  =  -3
1 - 2 -(-1) - 3 = -3
-3 = -3

mfg Georg

Comments

Hallo Georg! Das Einsetzen der schon vorhandenen Ergebnisse weiter unten kannst Du Dir sparen, wenn Du alle Variablen so ausrechnest wie die ersten. Dieses Gleichungssystem lässt sich vollständig im Kopf lösen, wenn man jeweils zwei geeignete Gleichungen so auswählt, dass durch Addieren oder Subtrahieren eine Gleichung mit nur noch einer Variablen entsteht. Das lässt sich hier mit allen vier Variablen durchführen und dürfte wohl auch der kürzeste Weg zur Lösung sein.