Welche der folgenden Mengen mit angegebenen Operationen, ist eine Gruppe?

Question

+ zeigen Sie gegebenenfalls, welche der Gruppenaxiome verletzt sind.

+ Welche der Gruppen ist abelsch?

Begründen sie.

 

G1:= ({f  : {1, 2, 3}→ {1, 2, 3}}, °)

G1:= (f  : {1, 2, 3}→ {1, 2, 3},f ist bijektiv}, °)

Answer 1

Ich gehe davon aus, dass ° Multiplikation sein soll:

G1:= ({f  : {1, 2, 3}→ {1, 2, 3}}, °)

• Es gibt ein neutrales Element aus G1, nämlich 1, denn: Sei x∈G1, dann gilt 1*x=x=x*1.

• Zu jedem Element aus G1 gibt es ein inverses Element:
Inverses zu 1: 1, denn 1*1=1
Inverses zu 2: 2, denn 2*2=4mod3=1
Inverses zu 3: nicht 1, denn 1*3=3;
nicht 2, denn 2*3=6mod3=3 (6mod3 ist hier nicht 0, da 0 nicht im Wertebereich liegt);
nicht 3, denn 3*3=9mod3=3. Es gibt also kein inverses Element zu 3.

• Assoziativität: Seien x,y,z∈G1, dann gilt (x*y)*z=x*(y*z).

G1 ist keine Gruppe, da es kein inverses Element zu 3 gibt.

 

G1:= (f  : {1, 2, 3}→ {1, 2, 3},f ist bijektiv}, °)

Hier kann ich dir leider nicht helfen. Ich würde das so wie oben machen, aber da f bijektiv ist, weiß ich nicht, wie das mit der Verknüpfung funktionieren soll. Bitte noch jemand anderes hier drüber schauen!

Comments

Hi schon einmal 1000Dank das du dich der Frage angenommen hast.

das ° meint die Verknüpfungsoperation.

 

Und noch eine Frage von mir zu klärung: Meint ({f  : {1, 2, 3}→ {1, 2, 3}}, °) 

die "Menge aller funktionen die {1,2,3} auf sich selbst abbilden" ?

somit muss man zeigen, dass die Verknüpfung der möglichen Funktionen S,R,T ist?

 

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Vielleicht ist mit  °  auch die Hintereinanderausführung von Funktionen gemeint. Dann wäre  G1  keine Gruppe, da die Funktion mit  f(1) = f(2) = f(3) = 1 nicht invertierbar ist.

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Wie ist ° denn definiert?

Anschaulich kannst du dir das so vorstellen: f bildet {1, 2, 3} auf {1, 2, 3} ab, also bekommst du für f(1)=1 oder f(1)=2 oder f(1)=3, gleiches für f(2) und f(3). Was heißt S,R,T?

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Ich habe gerade nachgefragt, und es soll Verknüpfung heißen.

 

Wegen S,R,T : Verzeiht ich bearbeite parallel noch eine Aufgabe zu Ordnungs und Äquivalentrelationen.

 

Ich meinte das A,N,I gegeben ist. => Assoziativität, Neutrales, Inverses

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Also die Musterlösung bietet folgendes:

G1 ist keine Gruppe. Zwar ist ° assoziativ und die Identitätsfunktion das neutrale Elementzu dieser Verknüpfung, allerdings ist nicht jedes Element in G3 invertierbar.

G2 ist eine nicht-abelsche Gruppe

 

Aber das hilft mir irgendwie nicht weiter, wie ich das in diesem Fall zeige / sehe.

 

Eventuell hilft das zur Lösungswegfindung.

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G1 ist dann also so, wie ich oben in der Antwort geschrieben habe. G2 kann ich dir immer noch nicht helfen.

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OK danke. Ich forsche weiter nach und poste die Antwort ggf. hier hinzu.