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Hier wieder eine kleine Aufgabe aus der Mathe-Challenge

von 302 k

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a)

Höhe des Dreiecks:

(a/2)^2+h^2 = a^2

h^2 = (3/4)a^2

h = √3/2 *a

Radius des Umkreises:

r^2 = (a/2)^2+(h/2)^2 = a^2/4+(3/16)a^2 = (7/16)a^2

r = √7/4*a

Fläche des Kreises:

r^2*π = (7/16)*a^2*π

Fläche des Dreiecks:

a*h/2 = a*(√3/4)*a/2 = √3*a^2/8

A_D/A_Kr:

(√3*a^2/8)/(7a^2*π/16) = 2*√3/(7*π) = 0,1575 = 15,75 %

Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
von
Hm. Du meist die Fläche des Dreiecks sind 15% von der Fläche des Umkreises. Das erscheint mir schon optisch etwas wenig, meinst du nicht auch?
Allerdings. Wo ist mein Rechenfehler ? Danke.

Bereits der Ansatz für den Umkreis ist falsch

r2 = (a/2)+ (h/2)2

Zeichne dir mal die halbe Höhe ein und überlege ob das richtig sein kann.

Es sehe es jetzt. Danke.

Man muss mit den Winkelhalbierenden rechnen. Sie halbieren die Winkel des Dreiecks. Dann gilt:

cos 30° = (a/2)/r

r = (a/2)/cos 30°

r ~ 0,4330a

Damit hat der Kreis die Fläche: (0,4330a)^2*π.

Stimmt das soweit ?

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