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In den letzten Tagen hatte ich das Programm zum Berechnen des Volumen eines Zylinders entwickelt, das eine interaktive 3D-Darstelllung und TeX-Formeln bietet, siehe hier. Heute habe ich eine wesentliche Weiterentwicklung fertiggestellt, die jedem Lehrer und SchĂŒler eine echte Hilfe sein wird:

Bild Mathematik

Link: Zylinder aus zwei Werten berechnen (3D Zylinder Programm)

URL: https://www.matheretter.de/rechner/zylinder

Gebt einfach zwei Werte ein und der Rest wird euch automatisch berechnet. Der "Rest" sind je nach Eingabe beim Zylinder: Radius, Höhe, Durchmesser, Umfang, GrundflÀche, MantelflÀche, OberflÀche und Volumen.

Dieses Programm eignet sich, um schnell Aufgaben auf Richtigkeit zu ĂŒberprĂŒfen oder um sich die GrĂ¶ĂŸe des Zylinders im Raum (3D) zu visualisieren. SchĂŒler und Lehrer können dieses Programm frei im Unterricht oder fĂŒr Hausaufgaben verwenden!

Ich wĂŒrde mich freuen, wenn ihr eure Bekannten den Link zum Programm mailt, sodass das Programm intensiv genutzt wird und ggf. Fehler gefunden und beseitigt werden.

Danke und liebe GrĂŒĂŸe!
Kai


PS: Hinweis, die Zylinderwerte lassen sich aus fast allen Wertepaaren berechnen. Es gibt jedoch ein paar wenige Ausnahmen, siehe Tabelle unten auf der Zylinderseite.

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von mathelounge
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Ich finde das einfach Klasse !
Man muss aber auch bedenken , das am Zylinder rechnerische Lösungen und Formelumstellungen wichtig sind !

Du meinst, ich sollte noch einbauen, wie man aus den zwei gegebenen Werten die restlichen Werte berechnet? Also den Rechenweg unten in Form von TeX-Code anzeigen?

Ich habe die Seite gerade einmal ĂŒberflogen. Wieso lĂ€ĂŸt sich aus OberflĂ€che- und Volumenangabe der Zylinder nicht berechnen ? 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.

Vielleicht fehlten auf die schnelle die nötigen Formeln:

r = xxxxx

h = xxxxx

Die normalen Formeln kann man ja eigentlich auswendig. Aber fĂŒr diese muss man sich soofern man sie nicht auswendig weiß 2 Minuten hinsetzen und nachdenken.

@georgborn: Vielen Dank fĂŒr den sehr guten Hinweis! Das hatte ich nach 4 Stunden Schlaf + 18 Stunden Arbeit + 4 Stunden Schlaf + 19 Stunden Arbeit und nebenbei noch einem Dutzend anderen Problemen dann doch ĂŒbersehen ;-)

Zur Berechnung nutze ich nunmehr die Formel h = r / (O·r/(2·V)-1).

Ist eingebaut: https://www.matheretter.de/rechner/zylinder
Lg Kai


@Der_Mathecoach: Kannst du interessehalber die Herleitung deiner Formeln als Kommentar posten? Ich denke, deine r = O/(4·pi·V) sowie deine h = 16·pi·V3/O2 sind falsch.

Ja. Die Formel waren kompletter Unsinn. Hab mich schon gewundert warum die so einfach waren.

Probier mal folgende Formel fĂŒr r:

r = √(2·O/(3·pi))·COS(ACOS(- V·√(54·pi/O^3))/3)

Ich habe sei jetzt auf die schnelle nur an einem Beispiel getestet.

Sobald ich die Höhe habe, kann ich den Radius daraus in Verbindung mit anderen Formeln ermitteln.

Habe das Programm noch dahingehend verbessert, dass fĂŒr die nicht-berechenbaren Paare bezĂŒglich der Höhe, also: Radius und Umfang, Radius und GrundflĂ€che, Umfang und GrundflĂ€che; nun je nach aktivem Feld das andere berechnet wird. Beispiel: Sind Radius und Umfang gegeben, kann die Höhe nicht berechnet werden. Ist nun Radius aktiv, wird daraus mindestens der Umfang berechnet und vice versa.

Funktion hinzugefĂŒgt, zwei Werte ĂŒber die URL zu ĂŒbergeben.

Beispiele:

Radius und Höhe:
https://www.matheretter.de/rechner/zylinder?r=2,25&h=0,5

Volumen und Umfang:
https://www.matheretter.de/rechner/zylinder?v=30&u=5

Durchmesser und MantelflÀche:
https://www.matheretter.de/rechner/zylinder?d=4,314&m=12

etc.

Falls euch hier ein Fehler auffÀllt (die Implementierung war nicht ganz einfach), bitte Bescheid geben.

Ab sofort könnt ihr das Zylinder-Programm gerne bei euren Antworten benutzen!

Weitere Änderungen:

- TeX-Parsing herausgenommen, stattdessen werden die aktiven Werte zum TeX-Tool verlinkt. Das Laden war mit 1230 kb einfach zu viel, nun sind es 780 kb.

- Ergebnisse werden als Text zum schnellen Kopieren links dargestellt:

Bild Mathematik

- Aktuelle Eingaben können verlinkt werden, siehe unten bei Optionen:

Bild Mathematik

Offen:
Bestenfalls aufzeigen, wie aus den beiden gegebenen Werten alle anderen berechnet werden.

Leider scheint es nichts zu geben mit
gegeben : O und V und der RĂŒckrechnung auf
r und h.

obiges Beispiel und Voreinstellung Proramm / Kai
Es gibt zwei Lösungen
r = 2 und h = 1.5
sowie
r = 1 und h = 6

Die Umstellungen der verwendeten Gleichungen
fĂŒr O und V nach r und h
scheint sehr kompliziert zu sein.
Aber das interessiert mich noch.

mfg Georg

Danke fĂŒr den Hinweis, per Link geht es nicht: https://www.matheretter.de/rechner/zylinder?v=30&o=80

Aber wenn man es hier manuell eingibt: https://www.matheretter.de/rechner/zylinder scheint es zu klappen. Dann erhÀlt man:

Ergebnisse:

Radius = 3,108
Höhe = 0,989
Durchmesser = 6,216
Umfang = 19,528
GrundflÀche = 30,347
OberflÀche = 80
MantelflÀche = 19,305
Volumen = 30

Muss ich noch prĂŒfen.

Jetzt verstehe ich, beim Programm bin ich vom berechneten Radius ausgegangen, diesen haben wir jedoch nicht.

Nach einer Gleichsetzung von h = r / (O·r/(2·V)-1) sowie h = O/(2πr) - r und einiger Umformung bin ich jetzt bei einer kubischen Gleichung angelangt, die wir nach r auflösen dĂŒrfen:

h = h

r / (O·r/(2·V)-1) = O/(2πr) - r

Zur besseren Lesbarkeit:

$$ \frac { r }{ \frac { O \cdot r }{ 2 \cdot V } -1 } = \frac { O }{ 2 \pi r } - r \\ 0 = -2 \pi r^3 + Or - 2 \cdot V$$

Hier noch mit alleine stehendem rÂł, also :(-2π) gerechnet:

$$ 0 = r^3 + \frac { O }{ -2 \pi  } \cdot r + \frac { V }{ \pi } $$

0 = r3 + O/(-2*pi)*r + V/pi

Jemand eine Idee?

Falls es dir darum geht aus O und V auf
h und r zu schließen :
wie in meinem letzten Kommentar ausgefĂŒhrt
scheinen prinzipiell keine eindeutigen Lösungen
möglich.
mfg Georg

Ich hatte soeben die Formel oben von Der_Mathecoach versucht:

$$ r = \sqrt{ \frac { 2·O }{ 3·\pi } } · \cos \left( \frac { \arccos( -V·\sqrt{ \frac { 54·pi }{ O^3 } )} } {3} \right) $$

scheint leider auch nicht zu klappen. Getestet habe ich mit O=50,265 und V = 25,133, bei diesen Werten mĂŒsste r=2 herauskommen.

Ich habe gerade 0 = r^3 + O/(-2*pi)*r + V/pi in wolframalpha eingegeben. Hier ist das recht heftige Resultat, die erste der 3 Lösungen (weitere siehe unten):

Bild Mathematik

Ich habe jetzt versucht, das als Berechnung umzusetzen. Das Problem hierbei ist, dass der Radikand der Wurzel √(54πV^2 - O^3) negativ wird und das Programm dann abbricht. Ich muss einen Weg finden, hier mit komplexen Zahlen im Programm weiterzurechnen. Neuland fĂŒr mich. Habe mich zwecks der Umsetzung der Programmierung an Stackoverflow gewendet.

Und hier noch ein Versuch via Wolframalpha.

Alle 3 Lösungen fĂŒr den Radius r lauten ĂŒbrigens:

Bild Mathematik

Hier sieht man, dass fĂŒr r1 keine komplexe Zahl dabei ist. Bei r2 und r3 jedoch schon.

Also beim einsetzen in meine obige Formel bekomme ich

r = 1.999941010

heraus. Das sollte stimmen. Hier wĂ€re es natĂŒrlich unsinnig mehr stellen anzugeben wie die Werte von O und V hatten. Also gerundet 2.0

Vielen Dank fĂŒr deine RĂŒckmeldung. Ich habe jetzt gesehen, dass du die reduzierte Cardanischen Formel anwendest, selbst aber noch nicht die Formel hergeleitet.

Bei r=2 und O=50,265 erhÀlt man V=25,132, vgl. hier.

Habe gerade deine Formel getestet in wolframalpha, klappt!

Sooo! Fertig. Habe die cardanische Lösungsformel benutzt, um die 3 Lösungen fĂŒr r zu bestimmen. Jetzt klappt es.

FĂŒr obiges Beispiel mit V=25,123 und O=50,265 ergibt sich Radius=2:

Bild Mathematik

Super! Damit ist das Programm soweit fertig =)

Danke an alle, die geholfen haben! Also beim speziellen Problem thanks @georgborn @Der_Mathecoach und @Yakob.

Das einzige, was mich wundert, sind die Ergebnisse bei nur kleinen Unterschieden in den Werten, zum Beispiel:

Bei V=10 und O=25,7 ergibt sich (klick hier):

r1 = 1.18397887801896
r2 = -2.33524144309995
r3 = 1.15126256508099

wo hingegen bei V=10 und O=25,6 folgendes Ergebnis entsteht (klick hier):

r1 = -2.332211020953563
r2 = 1.1661055104767815 + i* 0.07099043273868184
r3 = 1.1661055104767815 - i* 0.07099043273868184

Wolframalpha bestÀtigt diese Ergebnisse! Rechnung I mit 25,7 und Rechnung II mit 25,6.

Hallo Kai,

mein Matheprogramm ( Mupad ) zeigt mir dieselben Ergebnisse an.
Einmal mit ImaginÀranteil ( O = 25.6 ) und einmal ohne ( O = 25.7 ).

Die Graphen können gezeichnet werden sind fast identisch.

Worin die Unterscheide im Ergebnis begrĂŒndet sind kann ich
dir leider auch nicht sagen.

mfg Georg

So, nun noch eine nette Verbesserung zur Usability:

Bild Mathematik

Einfach ins Eingabefeld klicken und Cursortasten benutzen, das sieht dann so aus:

Bild Mathematik

Hoffe, es gefÀllt =)

Liebe GrĂŒĂŸe
Kai

Hallo Kai,

von Programmierer zu Programmierer.
  Ich war die letzten 25 Jahre selbststÀnidiger Programmentwickler,
1-Mann BĂŒro, Produkt " Statik fĂŒr den allgemeinen Hochbau ".
  Bei der Entwicklung der Eingabebildschirme traten mitunter
dieselben Fragen auf wie bei deinem Eingabebildschirm.

  Ich habe immer die robuste Variante gewÀhlt welche in deinem
Fall so aussschauen wĂŒrde.

  1. keine Eingabe von " 0 ", negativen Werten oder " Leerfeld " zulassen.
Sofort durch " 1 " ersetzen.
  2. Ausgegangen wurde von der Eingabe von r und h und der Berechnung
aller anderen Werte.
  3. wird d, U oder G geÀndert dann Neuberechnung von r und mit 2.
weitermachen.
  4. Wird M, O oder V geÀndert dann h neu berechnen und mit 2.
weitermachen.

Hiermit hast du eine robuste Eingabe fĂŒr alle FĂ€lle. Die Anwender
haben die Bedienung schnell heraus.

  Man kann auch im Eingabebildschirm direkt darauf hinweisen
Eingabefelder
Durchmesser ( Neuberechnung r )
Umfang ( Neuberechnung r )
GrundflÀche ( Neuberechnung r )

MantelflÀche ( Neuberechnung h )
OberflÀche ( Neuberechnung h )
Volumen ( Neuberechnung h )

Interessant war auch das diese relativ simple Zylinderberechnung
zu kubischen Gleichungen und komplexen Zahlen fĂŒhren kann.

mfg Georg

Hallo Georg, vielen Dank fĂŒr die Hinweise. Ich habe das "Auf-Eins-Setzen" beim Quader-Programm umgesetzt. Negative Werte wollte ich zulassen, da man dann z. B. den Quader nach unten zeichnen kann.

Die anderen VorschlĂ€ge ĂŒberlege ich mir. Um so mehr SchĂŒler,  Lehrer, Studenten die Geometrie-Programme nutzen, um so mehr erhoffe ich mir hilfreiches Feedback. Wie du sicher weißt, ein Programm erreicht nie den Status-quo ;) (... den gibt es nur bei TeX).

Schöne GrĂŒĂŸe
Kai

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Hier noch eine hiflreiche Antwort von Mitglied Yakob bezĂŒglich der Zylinderberechnung oben, er hatte Probleme beim Posten:

"Dass es bei der Berechnung des Radius r aus Volumen V und OberflĂ€che O Schwierigkeiten geben kann, liegt einfach daran, dass es zu gegebenem Volumen V einen Zylinder kleinster OberflĂ€che mit diesem Volumen gibt. Dies bedeutet, dass die OberflĂ€che dann diesen Wert nicht unterschreiten darf. In diesem Fall lautet dann die Antwort einfach, dass es eben keinen entsprechenden Radius und also gar keinen solchen Zylinder gibt. Bei der Rechnung via Cardanische Formeln zeigt sich dies darin, dass man fĂŒr r nur eine negative und zwei konjugiert komplexe Lösungen erhĂ€lt. Durch Lösung des Extremalproblems (minimale OberflĂ€che bei vorgegebenem Volumen) erhĂ€lt man den kritischen (minimalen) Radius rmin = Kubikwurzel(V/(2π)).
Setzt man diesen Wert in die OberflĂ€chenformel ein, erhĂ€lt man die kleinstmögliche OberflĂ€che Omin = 2π*rmin*(rmin+h) , die erforderlich ist, um mit dem vorgegebenen Volumen V wirklich einen Zylinder zu ergeben.
Man könnte also, wenn V und O eingegeben werden, zuerst diese Bedingung (ist O ≄ Omin ?) ĂŒberprĂŒfen und im negativen Fall die Antwort liefern, dass es keinen solchen Zylinder gibt.

Beste GrĂŒĂŸe
Yakob"

Besten Dank, Kai !

(habe jetzt auch neuen Browser ...)

Yakob

Update: Ich habe alle Formeln und deren Rechenwege unten auf der Seite festgehalten. Den jeweiligen Rechenweg seht ihr mit Klick auf den entsprechenden Link "Umformung anschauen".

Auf diese Tabelle könnt ihr ĂŒbrigens bei allen Zylinder-Fragen auf Mathelounge.de verweisen, Also z. B. "Wie berechne ich die Zylinderhöhe aus GrundflĂ€che und Volumen?" → Dazu einfach in der Tabelle bei GrundflĂ€che | Volumen schauen. Dort findet man: h = M/G mit Rechenweg.

Hallo zusammen, ich muss genau so ein Programm fĂŒr meine Studienarbeit in Excel programmieren. Gibt es hier jemanden der da fit ist und Tipps geben kann, da ich im programmieren keine Erfahrungen habe.

Ganz unten auf der Seite findest du alle nötigen Berechnungen: https://www.matheretter.de/rechner/zylinder#umrechnungen Damit sollte es kein Problem sein.

1 Antwort

0 Daumen

mittlerweile habe ich einen wunderbar kompakten Formelsatz erarbeitet, der fĂŒr den Fall, wo OberflĂ€che und Volumen gegeben sind, sofort die Entscheidung liefert, wie viele Lösungen (keine, eine oder zwei) es gibt und dann außerdem die zu den Lösungen gehörigen Radien berechnen lĂ€sst. Falls Interesse daran besteht: Die entsprechende Diskussion ist beim Matheraum zu finden:  http://www.matheraum.de/read?i=1032984 . In den nĂ€chsten Tagen werde ich dort den Formelsatz (wahrscheinlich in Form eines ganz kleinen Programms) angeben. Nur ein ganz kleiner Hinweis: in diesen Lösungsformeln kommen ĂŒberhaupt keine komplexen Zahlen und sogar nicht einmal Kubikwurzeln vor (dafĂŒr ein arccos und ein cos).

LG ,    Yakob

von

Hallo Yakob,

danke fĂŒr deine Zuarbeit. Ich habe dein Entscheidungskriterum - 2 Lösungen, wenn O^3 / V^2 > 54·π, wenn kleiner keine Lösung und bei Gleichheit eine Lösung (jedoch Problem der Rundung bei Pi*) - direkt umgesetzt. Zum Beispiel V=10 und O=30.

Zur Lösung der kubischen Formel verwende ich die Cardanischen Formeln. Dein cos-arccos-Ansatz wĂ€re natĂŒrlich auch möglich, um die komplexen Lösungen zu umgehen. Wenn ich es richtig beim per Mail ĂŒbermittelten TI-Code erkennen konnte:

 Bild Mathematik

ist dein Lösungsweg: 

r = √( O/(6·π) ) · cos( (arccos( (V/(2·π)) / (√( O/(6·π) ))^3 + k · 2 · π) / 3) )

Wobei ich das k ĂŒbrigens nicht zuordnen konnte.

Ggf. fĂŒhrt die Formel auf die gleichen Ergebnisse wie die Formel, die vom Mathecoach oben vorgeschlagen wurde? r = √(2·O/(3·pi))·COS(ACOS(- V·√(54·pi/O3))/3)

Schöne GrĂŒĂŸe
Kai



*Rundung von Pi: Eingaben mit Pi, also zum Beispiel O = 6 π und V = 2 π lassen sich in Javascript nicht umsetzen. Hier wird mit angenĂ€hertem Pi gerechnet, zusĂ€tzlich werden im Programm alle Werte auf 3 Nachkommastellen gerundet. Ergebnis wĂ€re fĂŒr das Beispiel: r1 = 1,007 und r2 = 0,993. Ich hoffe, dieser "Pi-Spezialfall" kommt nicht allzu hĂ€ufig vor. Und falls, dann kann der Benutzer eventuell an der Aufgabenstellung und den gerundeten Werten erkennen, dass es eigentlich nur eine Lösung sein soll. Alternativ könnte ich Werte, die nur 0,01 auseinander sind, zu einem Ergebnis zusammenfassen, aber das ist ggf. ein wenig zu viel Manipulation.

Naja, ich habe eben ganz mit Absicht nicht versucht, alles in eine einzige und notwendigerweise unĂŒbersichtliche Megaformel reinzupacken !  Wer prĂŒfen will, ob meine Lösung mit der von Mathecoach ĂŒbereinstimmt, darf dies gerne tun. Mir selber ist die Darstellung mit den paar HilfsgrĂ¶ĂŸen wesentlich angenehmer.

Die Formel von Mathecoach liefert allerdings nur eine Lösung, mein kompaktes Programm aber alle jeweils möglichen. Der Index k nimmt nur den Wert 1 an, falls es eine einzige Lösung gibt. Gibt es zwei Lösungen, so erhĂ€lt man die beiden möglichen (positiven) Radien r1 und r2 , indem man eben einmal k=1 und dann k=2 einsetzt. WĂŒrde man k=0 einsetzen, erhielte man die (ohnehin praktisch nicht brauchbare) Lösung mit negativem Radius.

LG ,   Yakob

Hallo Kai
Du hast geschrieben:

"Ich hoffe, dieser "Pi-Spezialfall" kommt nicht allzu hÀufig vor. Und falls, dann kann der Benutzer eventuell an den Werten und der Rundung erkennen, dass es eigentlich nur eine Lösung gibt." 

Naja, ich vermute halt, dass einige User das Programm natĂŒrlich auch genau an solchen „kritischen“ Beispielen werden testen wollen. 

"Alternativ könnte ich Werte, die nur 0,01 auseinander sind, zu einem Ergebnis zusammenfassen, aber das ist eventuell ein wenig zu viel "Manipulation“."

Ich wĂŒrde nicht auf nahe beieinander liegende r-Werte testen, sondern lieber schon vorher, bei dem Wert, den ich in meinem Programm mit Q bezeichnet habe. Kritisch wird es dort ja, wenn Q ganz dicht bei 1.000 liegt. Man könnte also z.B. den zunĂ€chst berechneten Wert von Q auf z.B. 5  (oder je nach RechenprĂ€zision deiner Software noch etwas mehr)  Stellen nach dem Komma  runden und dann diesen neuen Wert der Entscheidungsfrage „Ist Q gleich 1 oder grĂ¶ĂŸer oder kleiner ?“ unterwerfen. Alle Schlaumeier, die versuchen, das Programm mit Beispielen ganz nahe an der kritischen Grenze zu testen, wĂŒrden dann die Antwort erhalten, dass es genau eine Lösung gibt. Es wird aber möglicherweise auch FĂ€lle geben, bei denen es tatsĂ€chlich zwei Lösungen gibt, die sich aber (auf drei Nachkommastellen gerundet) anscheinend nicht voneinander unterscheiden. In einem solchen Fall wĂ€re es durchaus gerechtfertigt, die Antwort zu geben:  „ Es gibt zwei Lösungen, nĂ€mlich  r1 = 2.374  und  r2 = 2.374 „  !

Super, danke fĂŒr den Nachtrag und den Hinweis zu k.

NEU: Dem Programm wurden die Ergebnisse mit Pi π an entsprechenden Stellen hinzugefĂŒgt, Beispiel:

https://www.matheretter.de/rechner/zylinder?h=2&r=3

Ergebnisse:

Radius = 3
Höhe = 2
Durchmesser = 6
Umfang = 18,85 = 6·π
GrundflĂ€che = 28,274 = 9·π
MantelflĂ€che = 37,699 = 12·π
OberflĂ€che = 94,248 = 30·π
Volumen = 56,549 = 18·π

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