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$$ \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { 4 }^{ n }{ n }^{ 4 }+{ n }^{ 6 } }{ { 5 }^{ n } }  } $$

Wie komme ich hier auf den Grenzwert? Im Normalfall teilt man durch den höchsten Exponenten, aber wegen "hoch n" komme ich leider nicht weiter.

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Im Zähler klammern wir mal 4^n aus

4^n * (n^4 + n^6 / 4^n) / 5^n

Jetzt können wir die 4^n / 5^n zusammenfassen

 

(4/5)^n * (n^4 + n^6 / 4^n)

Für (4/5)^n ist der Grenzwert 0

Für n^4 ist der Grenzwert unendlich

für n^6 / 4^n ist der Grenzwert 0 weil 4^n schneller gegen unendlich geht als n^6.

Damit steht dort eigentlich 0 mal unendlich. Allerdings strebt (4/5)^n schneller gegen Null als n^4 gegen unendlich. Damit ist der gesamte Grenzwert 0.
Beantwortet von 264 k

Vielen Dank für die Antwort. Aber ich denke, die Begründung, dass es "schneller" oder "stärker" gegen unendlich bzw null läuft ist nicht ausreichend.

 Ich habe das jetzt so umgeformt:

$$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 ^ { n } n ^ { 4 } + n ^ { 6 } } { 5 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 4 \sqrt [ n ] { n ^ { 4 } } + \sqrt [ n ] { n ^ { 6 } } } { 5 } = \frac { 4 } { 5 } \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt [ n - 4 ] { n } + \sqrt [ n - 6 ] { n } $$

Kann man damit was anfangen?

Merke grade, dass ich bim 4/5 ausklammern ein Fehler gemacht hab.

muss ( n-6√n) /4 heißen am ende

Du ziehst ja die n. Wurzel. Darfst Du dann einfach die n. Wurzel aus jedem Summanden nehmen?

Und dann formst Du um 

n.Wurzel aus n^4 = n^{n-4}

mit welcher Berechtigung machst du das? Müsste das nicht dann eher n^{4/n} sein?

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