Bestimmen Sie den Wert von x, für den U(x) maximal wird.

Question

Aufgabe:

Ein Modell, das in der Theorie effizienter Anleihemärkte auftritt, verwendet die Funktion

$$ U(x)=72-(4+x)^{2}-(4-r x)^{2} $$

mit \( \mathrm{r} \) konstant.

Bestimmen Sie den Wert von \( x \), für den \( U(x) \) maximal wird.

Ansatz:

Ich soll den Wert von x bestimmen für den u maximal ist ich weiß, dass man die erste Ableitung bilden soll aber wie soll ich denn weiterrechnen ich hab zwei Unbekannte die Aufgabe 62

Comments

Ableitung nach x bilden - Nullstelle der Ableitung

r ist eine Konstante.

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Nullstelle der Ableitung heisst U'(x) = -2(x+4) - 2(4-4rx)*(-r) = 0 setzen und Gleichung nach x auflösen

Answer 1

Hi,

bestimme die Ableitung:

U(x) = 72 - (4+x)^2 - (4-rx)^2 = 72 - (16+8x+x^2) - (16-8rx+(rx)^2)

= 72 - 16 - 8x - x^2 - 16 + 8rx - r^2 x^2 = -r^2 x^2 - x^2 + 8rx -8x + 40

U'(x) = -2r^2 x - 2x + 8r - 8

Setze diese 0:

(-2r^2 - 2)x + 8r-8 = 0   |+8r-8

(-2r^2-2)x = 8-8r            |:(2r^2-2)

x = (8-8r)/(-2r^2-2) = 8(r-1)/(2(r^2+1)) = 4(r-1)/(r^2+1)

Zweite Ableitung bilden:

U''(x) = -2r^2 - 2

Da nun das errechnete x einsetzen (muss man nicht, da kein x in der Gleichung) und dafür sorgen, dass U''(x) < 0 ist (wähle das r entsprechend), damit wir ein Maximum haben. Das aber überlasse ich Dir ;).

Grüße

Comments

etwas umständlich abgelitten ... das hat die Fragestellerin schöner hinbekommen

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Das "umständlich" ist Ansichtssache. Ich ziehe es so vor und habe auch Erfahrung gemacht, dass es so angenehmer für den Lernenden ist. Die innere Ableitung wird gerne vergessen, auch wenn Damlasnmz das gut hinbekommen hat! :)

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R kann doch dann jede beliebige Bruchzahl sein oder?

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Sogar jede beliebige reelle Zahl ;).

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Und wie soll ich da dann das Maximum bestimmen wenn es ja jede reelle Zahl sein kann

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Naja, es kann zwar jede reelle Zahl sein, ist aber abhängig von r.

Wenn Du also beispielsweise r = 0 wählst, dann ist die Extremstelle bei x = -4 zu finden etc ;).