Konvergenzradius von Σ (3/k^2) (z-2)^k. Randpunkte untersuchen.

Question

Ich soll den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe berechnen und das Verhalten in den reellen Randpunkten des Konvergenzkreises Untersuchen. Σ

\( \sum \limits_{k=1}^{+\infty} \frac{3}{k^{2}}(z-2) \)

Answer 1

Der Konvergenzradius berechnet sich zu

\( r=\lim_{n \to \infty } \frac{a_n}{a_{n+1}} \)

Für \( |z-2| \lt r \) konvergiert die Reihe und für \(  |z-2| \gt r  \) divergiert die Reihe.

\( r=\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac { \frac{3}{k^2} }{\frac{3}{(k+1)^2}}=\left( \frac{k+1}{k} \right)^2=\left( {1+\frac{1}{k}} \right)^2  \)

Der Grenzwert ist 1. Also liegt Konvergenz bei \( 1 \lt z \lt 3 \) vor.

Zu untersuchen ist noch was bei \( z=1 \) und bei \( z=3 \) passiert.

Bei \( z=1 \) sieht die Reihe so aus:

\( \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{3}{k^2} \)

Das ist eine alternierende Reihe die nach dem Leibnitzkriterium konvergiert.

Für \( z=3 \) erhält man \( \sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{k^2} \) die gegen \( \frac{\pi^2}{2} \) konvergiert.

Das die Reihe überhaupt konvergiert zeigt man, in dem man beweist, dass die Partialsummen monoton steigen und beschränkt sind.

Comments

Wie siehst du das der Grenzwert 1 ist?

Aber danke schonmal für deine tolle Beschreibung.

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Hi,
\( \frac{1}{k} \) geht gegen \( 0 \) also der gesamte Grenzwert gegen \( 1 \)

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Ok alles klar und wie kommst du auf z = 1 und 3?

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Hi,

Du must überlegen wann \( |z-2| \lt 1 \) gilt. Das gilt für den angegebenen Bereich. Setz mal Werte außerhalb des Bereiches ein, dann siehst Du, dass nur dort \( |z-2| \lt 1 \) gilt.

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mh ok ... könntest du mir das auch nochmal bei dieser folge erklären.

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Also wie beim letzten Mal:

Der Konvergenzradius wird mit dem Quotientenkriterium hergeleitet.

\( \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{1+\frac{1}{k}}{2} \) und das geht gegen \( \frac{1}{2} \) für \( k \to \infty \).

Die Reihe konvergiert also für \( |z+1| \lt \frac{1}{2} \).

D.h. es muss gelten \( -\frac{3}{2} \lt z \lt -\frac{1}{2} \).

An den Randwerten gilt für $$ z=-\frac{1}{2} $$

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} $$

Das ist die harmonische Reihe und die ist divergent.

Für \( z=-\frac{3}{2} \) gilt

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2^k}{k}\left(-\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}(-1)^k $$

Hier kann man das Leibnitzkriterium anwenden und man sieht, die Reihe konvergiert.

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wieso sieht man manchmal diese formel
an/an+1 und diese variante an+1/an
ist es im endefekt das gleiche?

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Nein! Das ist nicht das gleiche!

ullims Formel liefert r. Die andere aber 1/r.

Wenn die Summanden nicht alle ≥ 0 sind solltest du Beträge setzen um den Quotienten.

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius

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Für den Konvergenzradius nach dem Quotientenkriterium gilt immer \( r=|\frac{a_n}{a_{n+1}}| \)

Bei der Herleitung dieser Formel tauch manchmal der andere Term auf. Das kommt daher, weil beliebige Reihen \( \sum_{k=0}^\infty a_k \)konvergieren, wenn \( |\frac{a_{k+1}}{a_k}| \lt 1 \) gilt, für alle \( k \gt k_0 \).

Das Kriterium auf eine Potenzreihe der Form \( \sum_{k=0}^\infty a_k(x-x_0)^k \) angewendet, führt zu

\( \left| \frac{a_{k+1}(x-x_0)^{k+1}}{a_{k}(x-x_0)^{k}}\right |=\left |\frac{a_{k+1}(x-x_0)}{a_{k}}\right | \lt 1 \)

Also \( |x-x_0| \lt |\frac{a_k}{a_{k+1}}| \)

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mir fehlt immer noch dieser gedankenstoß bei der aussage ( der Grenzwert ist 1/2)

-3/2 < z < -1/2 wie kommt man auf diese wert?

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Im Link, den ich dir oben angegeben habe, ist das Konvergenzzentrum bei x= x_o.

überleg dir, für welches z dein (z+1)^k immer 0 ist. Das ist dann z= -1.

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endlich habe ichs verstanden danke :)

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\( |z+1| \lt \frac{1}{2} \) bedeutet doch

$$ (1) \quad z+1 \lt \frac{1}{2} $$ und
$$ (2) \quad -(z+1) \lt \frac{1}{2} $$

Das ergibt zusammen \( -\frac{3}{2} \lt z \lt -\frac{1}{2} \)

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 z=3 erhält man ∑∞k=13k2 die gegen π22 konvergiert. 

Das die Reihe überhaupt konvergiert zeigt man, in dem man beweist, dass die Partialsummen monoton steigen und beschränkt sind. 

wie mach ich das denn?

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Also
\( \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2} \lt 1+\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{k(k-1)}=1+\sum_{k=2}^{N}\left( \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k} \right)=1+1+\sum_{k=2}^{N-1}\frac{1}{k}-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{k}=2-\frac{1}{N} \lt 2  \)

Damit ist die Beschränktheit bewiesen.

Die Partialsummen berechnen sich nach \( \sum_{k=1}^{N}\frac{1}{k^2} \)

Da immer was echt positives hinzu kommt, je länger die Reihe wird, ist sie streng monoton wachsend.

Einmal habe ich eine Partialbruchzerlegung gemacht, der Rest ist rumspielen mit den Indizes. Man sieht das auch, wenn man an das Stichwort Teleskopsummen denkt.

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kannst du mir bitte mal vorrechnen wie du auf

π22 konvergiert kommst ?

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Vielleicht solltest du bei der Gelegenheit auch die Frage nochmal lesen und deine Antworten (insbesondere den Satz  Das die Reihe überhaupt konvergiert zeigt man, in dem man beweist, dass die Partialsummen monoton steigen und beschränkt sind. ) entsprechend anpassen.

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Was meinst Du mit anpassen?

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Die Verwendung der Variablen "z" ist ein starkes Indiz und die Verwendung des Wortes "Konvergenzkreis" sogar ein Beweis dafür, dass diese Aufgabe in ℂ zu betrachten ist, nur so macht auch der Hinweis auf "reelle Randpunkte" überhaupt Sinn.
Nun erkläre mir mal, was du mit Monotonie in ℂ meinst.

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hj217 Inwiefern wäre für dich hier Monotonie in C relevant, wenn es sich um reelle Randpunkte handelt?

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Also lustiges Rätselraten macht zwar Spass, aber besser man fragt den Aufgabensteller ob hier als \( \mathbb R \) oder \( \mathbb C \) als Definitionsmenge gemeint ist. Ansonsten verstehe die beschriebene Lösung als eine die nur für \( \mathbb R \) gilt. Nebenbei ist auch vom Konvergenzradius die Rede und das ist auch ein Begriff, der für reelle Funktionen zur Anwendung kommt, wie Du dich vielleicht erinnern magst.

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Hi, es gibt verschieden Methoden, ich stelle mal einen Link ein, auf dem Du verschieden Lösungen siehst.

http://math.stackexchange.com/questions/8337/different-methods-to-compute-sum-limits-n-1-infty-frac1n2

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ja gute frage ich weiß nicht ob man das komplex rechen muss ... ist das zur vorherigen vorgehensweis so extrem anders?

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also bei der zweiten aufgabe mit konvergenzradius (z+1) hatte der dozent als lösung ( ich habe es einfach mal rauskopiert)

f(z) = sum ( 2 ( z+1 )) ^ k / k   k , 1 infinity

-log ( -1 -2 z )

limit ( 2^ ( k+1 ) / ( k+1 ) / ( 2^k / k ) k infinity

( 2 )

könnt ihr damit was anfangen? ich nicht :/

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Ich versteh gar nicht was Du da hin geschrieben hast. Benutzte doch den Formeleditor, dann kann man das auch erkennen. Ich lese das wie folgt:

$$ (1) \quad f(z)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\left[2(z+1)\right]^k}{k}=-log(-1-2z) $$ 

$$ (2) \quad \lim_{k\to\infty}  \frac{ \frac{2^{k+1}}{k+1} }{\frac{2^{k}}{k}} $$

Ich würde sagen bei (2) steht der inverse Konvergenzradius nach dem Quotientenkriterium. Ist (1) richtig? Das hatte ich auch schon vorgerechnet, schau nochmal nach.

Bei der zweiten Aufgabe ist der Konvergenzradius nicht \( z+1 \), das ist der Term in der Potenzreihe, sonst nichts. Außerdem kann der Konvergenzradius ja nicht von z abhängen sondern sollte eine feste Zahl sein, die nach (2) berechnet wird.