Polynomfunktion 3.Grades durch P1 (-4/1) und P2 (0/0)

Question

Hallo.

Ich habe ein Problem bei dem Modellieren einer Polynomfunktion 3.Grades.

Und zwar soll diese durch die Punkte (-4/1) und (0/0) gehen. Die Funktion soll den Sinkflug eines Flugzeugs darstellen, dass sich ab -4/1 im Landeanflug befindet und bei 0/0 auf die Landebahn aufstetzt.

Als Kontrolllösung ist f(x)=1/32x³+3/16x²

Außerdem soll berechnet werden wann die Flugbahn in dem Abschnitt am steilsten ist, der Abstiegswinkel ist auch gesucht.

Ich komme allerdings mit dem LGS nicht genau klar....

Danke, Kevin

Comments

Landeanflug und Sinkflug sind aviatisch nicht dasselbe, von daher ist die Formulierung in der Aufgabe unglücklich. Und ich glaube auch nicht, dass man mit dem Höhenverlauf einer Polynomfunktion landet.

Answer 1

Hi Kevin,

Die sich ergebenden Bedingungen

f(0)=0    (Gegebener Punkt)

f'(0)=0   (Muss die Steigung 0 haben, da ja gelandet werden soll)

f(-4)=1   (Gegebener Punkt)

f'(-4)=0   (Muss die Steigung 0 haben, da ab hier Landeflug begonnen wird)

Sich ergebendes Gleichungssystem

d = 0

c = 0

-64a + 16b - 4c + d = 1

48a - 8b + c = 0

Gelöst: f(x) = 1/32*x^3 + 0,1875x^2

Am steilsten ists am Wendepunkt. Suche diesen.

Winkel findest Du mit dem Steigungsdreieck.

Du kommst klar?

Grüße

Answer 2

f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c* x + d

( -4  | 1 )
( 0 | 0 )  damit ist d = 0

f ( x ) = a*x^3 + b * x^2 + c* x
f ´( x ) = 3*a*x^2 + 2 * b *x +  c

Beginn des Landeanflugs : Steigung = 0
Landung : Steigung = 0
f ´( -4 ) =  3*a*(-4)^2 + 2 * b *(-4) +  c = 0
f ´( 0 ) =  3*a*(0)^2 + 2 * b *(0) +  c = 0  damit ist c = 0

f ´( -4 ) =  3*a*(-4)^2 + 2 * b *(-4)  = 0
f  ( -4 ) = a*(-4)^3 + b * (-4)^2  = 1

Es bleiben 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Kannst du das lösen ?
Falls nicht führe ich auch einmal vor.

f ( x ) =1/32 * x³ + 3/16 * x²
Die Steigung ( oder besser Fallung ) ist am Wendepunkt am größten
f ´ ( x ) = 3/32 * x^2 + 6/16 * x
f ´´ ( x ) = 6 /32 * x + 6/16
Wendepunkt
6 /32 * x + 6/16 = 0
6 / 32 * x = - 6 /16
x = ( -6 * 32 ) / ( 6 * 16 )
x = -2
Winkel
f ´( -2 ) =  3/32 * (-2)^2 + 6/16 * (-2)
f ´´ (- 2 ) = 3 / 8  -  6 / 8
f ´´ ( -2 ) = - 3/8
tan ( Winkel ) = -3/8
Winkel = - 20.56  °

Answer 3

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(-4) = 1

f'(-4) = 0

Bei den Gleichungen und der Kontrolllösung hilft die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

f(x) = 1/32·x^3 + 3/16·x^2

f'(-2) = - 3/8 --> -20.56°

Ein Abstiegswinkel von 20 Grad ist glaube ich schon extrem steil. Das sollte wenn dann eine kleine Sportmaschine sein.

Answer 4

Und zwar soll diese durch die Punkte P(-4|1) und Q(0|0) gehen. Die Funktion soll den Sinkflug eines Flugzeugs darstellen, dass sich ab -4/1 im Landeanflug befindet und beiQ( 0|0 )auf die Landebahn aufsetzt.

In P_1 und P_2 liegen waagerechte Tangenten vor: Nullstellenform

\( f(x)=ax^2(x-N)=a(x^3-Nx^2)\)

P_1( -4|... ) 1. Ableitung =0

\( f'(x)=a(3x^2-2Nx)\)

\( f'(-4)=a(48+8N)=0\)

\(N=-6\)

\( f(x)=a(x^3+6x^2)\)

P_1(-4|1):

\( f(-4)=a(-64+96)=1\)

\(a=\frac{1}{32}\)

\( f(x)=\frac{1}{32}(x^3+6x^2)\)

Comments

Es fehlen diverse Klammern oder sind zu viel. Außerdem ist es nicht sinnvoll, zwischen den Bezeichnungen der Punkte zu wechseln...

Das Thema Sorgfalt wurde doch bereits mehrfach angesprochen.

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Danke für die Hinweise!