Zeige: Produkt von konjugiert komplexen Zahlen ist dasselbe wie ....

Question

Aufgabe Rechengesetze fir komplexe Zahlen:

Zeigen Sie, dass die folgenden Rechengesetze für alle \( z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} \) gelten.

a) \( \overline{\bar{z}_{1}{ }^{*} \overline{z_{2}}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{\bar{z}_{2}} \)

b) \( \left|z_{1} \cdot z_{2}\right|=\left|z_{1}\right| \cdot\left|z_{2}\right| \)

Ist das richtig?

\( \begin{aligned} \overline{z_{1} \cdot z_{2}} &=\overline{\left(x_{1}+y_{1}i\right)\left(x_{2}+y_{2} i\right)} \\ &=\overline{\left(z_{2}\right)} \cdot \overline{\left(z_{2}\right)} \end{aligned} \)

Comments

Das ist natürlich nicht falsch, löst aber sicher die Aufgabe nicht, da nicht gezeigt wird, wie man vom zweiten Term zum letzten Term kommt. Du wirst also ausmultiplizieren müssen, dann sinnvoll ausklammern und die Konjugation auflösen müssen. Danach wird faktorisiert und dann bist Du fast fertig.

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Richtig ist das schon. Aber du sollst es beweisen. Da musst du mit den Real- und Imaginärteilen noch ein paar Umformungen erfinden.

Answer 1

z1 = a + b·i

z2 = c + d·i

konj(z1 * z2) = konj(z1) * konj(z2)

konj((a + b·i) * (c + d·i)) = konj(a + b·i) * konj(c + d·i)

konj((a·c - b·d) + (a·d + b·c)·i) = (a - b·i) * (c - d·i)

(a·c - b·d) - (a·d + b·c)·i = (a·c - b·d) - (a·d + b·c)·i

Auf der linken Seite wurde nur konjugiert. Auf der rechten Seite wurde nur ausmultipliziert.