Geben Sie das Supremum und das Infimum an. Welche Funktionen sind injektiv auf ihrem (maximalen) Definitionsbereich?

Question

Aufgabe Definitionsbereich und Wertebereich reeller Funktionen:

Bestimmen Sie den (maximalen) Definitionsbereich und den zugehörigen Wertebereich der folgenden Funktionen aus \( \mathbb{R} \) in \( \mathbb{R} \).

Wie lauten jeweils der globale Maximal- und Minimalwert der Funktionen, falls es solche Werte gibt, und an welchen Stellen treten Sie auf?

Geben Sie jeweils das Supremum und das Infimum an (falls existent). Welche Funktionen sind injektiv auf ihrem (maximalen) Definitionsbereich? Geben Sie gegebenenfalls die zugehörigen Umkehrfunktionen an.

a) \( f(x)=\sqrt{3 x-2} \)

b) \( f(x)=\sqrt{-x^{2}+4} \)

c) \( f(t)=\frac{1}{1+t^{2}} \)

d) \( h(s)=\frac{2 s^{2}}{1+s^{2}} \)

e) \( g(x)=\frac{x-5}{|10-2 x|} \)

Comments

die Begriffe Supremum und Infimum bzw. kleinste obere Schranke und größte untere Schranke

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Infimum_und_Supremum

In der Mathematik ist ein Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für lokales und globales Maximum und Minimum.

Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert

Sofern die Lösung einer Quadratwurzel ein reelles Ergebnis bringen soll, darf deren Determinante nicht kleiner Null werden.

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Ich habe schon vorher die wikipedia artikeln gelesen

Ich verstehe nicht warum das hier weder supremum noch globaler maximalwert hat?

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8b wie genau kann ich supremum und globaler maximaler wert unterscheiden.

Answer 1

$$ f(x)=\sqrt{3x-2} $$
Diese Funktion kann keinen Wert kleiner Null erreichen. Klar, weil die Wurzel nur positive Werte oder 0 liefern kann.
Da wäre also ganz eindeutig eine untere Grenze der möglichen Werte.
Um nach Extremen zu suchen , gucken wir nach der Ableitung ...

$$ f'(x)=\frac3{2\sqrt{3x-2}} $$
wo hat die eine Nullstelle ?

Comments

Die hat keine nullstellen das ist mir klar.

Aber warum hat das dann kein supremum mit unendlich?

Oder gilt das als schranke nicht?

Danke

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Unendlich ist kein definierter Wert. Wenn die grösste positive Zahl unendlich wäre ...
was wäre das für eine Grenze gegenüber noch grösseren Zahlen ? Überunendlich ? Unendlich plus eins ?

Das muss schon ein bestimmbarer Wert sein, sonst hat die Aussage ja keinen Wert.

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Was bedeuteut eigentlich

D(f)=u^{-1} ([0,unendlich])

Verstehe ich nicht