Berechnen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte für f(x)=(x+3)·e^{-0,5x}

Question

Berechnen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion:

$$ f( x ) = ( x + 3 ) \cdot e ^ { - 0,5 x } $$

Answer 1

f(x) = (x + 3) * e^-0.5x
f '(x) = e^{- 0.5·x}·(-0.5x - 0.5)
f ''(x) = e^{- 0.5·x}·(0.25x - 0.25)

Nullstellen f(x) = 0

(x + 3) * e^-0.5x = 0
x + 3 = 0
x = -3

Extremstellen f '(x) = 0

e^{- 0.5·x}·(-0.5x - 0.5) = 0
-0.5x - 0.5 = 0
x = -1

f(-1) = 2·√e = 3.297

EP(-1 | 2·√e)

Wendestellen f ''(x) = 0

e^{- 0.5·x}·(0.25x - 0.25) = 0
0.25x - 0.25 = 0
x = 1

f(1) = 4/√e = 2.426

WP(1 | 4/√e)

Skizze: 

Answer 2

Als Ergänzung:
Die notwendige Bedingung f' =0 bzw. f'' = 0 alleine reicht nicht aus.

Nullstelle:
f ''(x = -1) = e^0.5·(-0.25 - 0.25) ≅ -0,824 < 0 // hinreichende Bedingung
daraus folgt: relatives Maximum am Punkt EP(-1 | 2·√e)

Wendepunkt:
f''' (x) = e^-0,5x (3-x)
f''' (x=1) = e^-0,5 (3-1) ≅ 1,21 =/= 0 //hinreichende Bedingung
daraus folgt: Wendepunkt bei WP(1 | 4/√e)