Wie überprüfe ich ob die folgenden Mengen Untergruppen von R bilden?

Question

$$Wie prüfe ich ob die folgenden Mengen Untergruppen von  ℝ bilden?

a) ℤ

b) ℕ

c) ℚ \ {0}

d) Q[√2], wobei ℚ [√2] := {a + √2b | a,b ∈ℚ}

Könnt ihr mir bitte die Lösungen erklären?$$

Answer 1

Neben der Menge muss auch die Rechenart festgelegt sein.
Geht es um Addition oder Multiplikation.

z.B. bei a) Rechenart Multiplikation musst du prüfen:
1. Abgeschlossenheit:      Gibt es immer ein Ergebnis in Z, wenn man zwei Elemente von Z multiplizier? Ja
2. neutrales Element: Gibt es ein Element von Z, dass man mit jedem anderen Element x von Z multiplizieren
kann und es kommt immer x heraus ?    Ja, das neutrale Element ist 1.
3. inverse Elemente: Gibt es zu jedem Element x von Z ein inverses Element x', welches beim Multiplizieren
x*x' das neutrale Element ergibt ? nein, z.B.  x=2         2*x'=1    ist in der Menge Z nicht lösbar.

Also Z keine Untergruppe von R bei der Multiplikation.

Bei der Addition allerdings schon:     neutrales Element ist o
und    x   +   x'   = 0 geht immer mit    x' =   -x

Comments

danke, also geht das dann für die anderen beispiele genauso?

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Genau, du musst diese 3 Eigenschaften prüfen.

Die anderen Gruppenaxiome sind nicht nötig, da du

ja nur auf "Untergruppe" prüfen willst.