Änderungsrate, steigung Tantente...

Question

Meine Aufgabe: 
geg:f(x)=0.5x^2-3x-1, x∈|R a) Berechnen Sie für h=1 die beiden Änderungsraten
ÄR1= (f(x_a +h)-f(x_a) ) / h 

ÄR₂ = (f(x_a) - f(x_a -h)) / h

b) Stellen Sie f sowie ÄR₁ und ÄR₂ grafisch dar
c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an dem Graphen von f für x_a = 1 über die momentane Änderungsrate von f an dieser Stelle.
d) Stellen Sie in der Zeichnung von Teil b die Tangente aus Teil c grafisch dar
e) Bestimmen Sie die Gleichung der  Tangente aus Teil c
:)

Answer 1

c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an dem Graphen von f für x_a = 1 über die momentane Änderungsrate von f an dieser Stelle.
d) Stellen Sie in der Zeichnung von Teil b die Tangente aus Teil c grafisch dar
e) Bestimmen Sie die Gleichung der  Tangente aus Teil c

zu a)  ich schreibe mal nur x statt xa, das a kannst du ja dann noch anhängen:

ÄR1  = ( 0.5(x+1)²-3(x+1) -1  -   (0.5x²-3x-1)   )  /  1

Klammern auflösen und zusammenfassen gibt

          =  x - 2,5      Ebenso bei ÄR2   gibt es -x + 3,5

b) Gibt eine Parabel und zwei Geraden

c) (f(1 +h)-f(1) ) / h = 

  ((0.5h^2 - 2h  -3,5)  -  (-3,5) )  /  h   = (0.5h^2  -  2h  ) / h

Im Zähler h aus klammern    h*(0,5h - 2) / h   kürzen   =  0,5h - 2

Für h gegen o gibt das -2, also ist die Tangenetensteigung -2.   

e) Tangente ist eine Gerade, also Gleichung  y=mx+n

m ist die Steigung, also m=-2.

Tangente bei x=1 geht natürlich durch den Berührpunkt  (1/f(1)) =  (1/-3,5)

Punkt und m=-2 einsetzen in y=mx+n

gibt   -3,5   =   -2  *  1   +  n

gibt   -1,5 = n, also Tangentengleichung   y=-2x-1,5

Answer 2

a) Berechnen Sie für h = 1 die beiden Änderungsraten

ÄR1 = (f(x + h) - f(x)) / h

ÄR2 = (f(x) - f(x - h)) / h

ÄR1 = ((0.5·(x + h)^2 - 3·(x + h) - 1) - (0.5·x^2 - 3·x - 1)) / h

ÄR1 = (0.5·x^2 + h·x + 0.5·h^2 - 3·x - 3·h - 1 - 0.5·x^2 + 3·x + 1) / h

ÄR1 = (h·x + 0.5·h^2 - 3·h) / h

h = 1 -->

ÄR1 = x - 2.5

ÄR2 = (f(x) - f(x - h)) / h

ÄR2 = ((0.5·x^2 - 3·x - 1) - (0.5·(x - h)^2 - 3·(x - h) - 1)) / h

ÄR2 = ((0.5·x^2 - 3·x - 1) - (0.5·x^2 - h·x + 0.5·h^2 - 3·x + 3·h - 1)) / h

ÄR2 = (0.5·x^2 - 3·x - 1 - 0.5·x^2 + h·x - 0.5·h^2 + 3·x - 3·h + 1) / h

ÄR2 = (h·x - 0.5·h^2 - 3·h) / h

h = 1 -->

ÄR2 = x - 3.5

b) Stellen Sie f sowie ÄR1 und ÄR2 grafisch dar.

c) Berechnen Sie die Steigung der Tangente an dem Graphen von f für x = 1 über die momentane Änderungsrate von f an dieser Stelle.

f'(x) = lim (h → 0) (h·x + 0.5·h^2 - 3·h) / h = lim (h → 0) x + 0.5·h - 3 = x - 3

f'(1) = -2

d) Stellen Sie in der Zeichnung von Teil b die Tangente aus Teil c) grafisch dar.

e) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente aus Teil c).

t(x) = f'(1)·(x - 1) + f(1) = - 2·(x - 1) + (- 3.5) = - 2·x - 1.5

Comments

Bei ÄR1 müsste aber -1,5 anstelle -2,5 herauskommen oder?

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OK... hab es jetzt verstanden. Es ist ja x - 2,5. Man darf das x nicht vergessen :-)