Question

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ durch 9 teilbar ist.

IB

n = 3

3³ + (3 + 1)³ + (3 + 2)³ = 216/9 = 24. ✓

IS

(n+1)³+(n+2)³+(n+3)³ = (n² + 2n +1)(n+1)+(n²+4n+4)(n+2)+(n²+6n+9)(n+3)

= 3n³ + 18n² + 42n + 36

= [(n³+(n+1)³+(n+2)³] + ?

Wie komme ich jetzt hier weiter? Hab ich das überhaupt richtig aufgelöst?

Gruß

Answer 1

das ist unnötig kompliziert ;).

Mit n³ + (n + 1)³ + (n + 2)³ = 9k

(n+1)³+(n+2)³+(n+3)³ = (n+1)³+(n+2)³+ (n^3 + 9n^2 + 27n + 27)

= 9k + 9n^2 + 27n + 27 = 9k + 9(n^2+3n+3)

Passt.

Alles klar? Der orangene Teil ergänzt den roten Teil so, dass sich die Induktionsannahme ergibt.

Grüße

Comments

Okay, aber warum 27n bzw. 27?

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Ausmultiplizieren von (n+3)^3 ;). Zu machen über (n+3)(n+3)^2 oder Pascalschem Dreieck

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Achso okay.

Sobald ich mehr als zwei Klammern mit dem Exponenten 3 habe, verwende ich also diese Methode?

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Welche Methode meinst Du? Die anderen Klammern haben wir doch gar nicht ausgerechnet, sondern gleich erkannt, dass wir die mit der Induktionsannahme verarbeiten können. Einzig (n+3)^3 haben wir anderweitig verarbeitet ;).

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Wenn ich nur zwei Klammern mit dem Exponenten 3 habe, dann habe ich das bis jetzt mit der binomischen Formel aufgelöst. Das hat ja jetzt hier nicht funktioniert, deswegen habe ich gefragt, ob man das generell dann macht, wenn mehr als zwei Klammern auftauchen, die denselben Exponenten haben. :)

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Also eigentlich nutzt man die binomische Formel selbst bei Termen dritten Grades nicht :P.

Nur bei zweiten Grades ;).

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Auch wenn ich nur eine Klammer mit dem Exponenten 3 da stehen habe? :)

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Auch dann. Dann mit dem obigen Vorschlag probieren ;).

Ausmultiplizieren von (n+3)³ ;). Zu machen über (n+3)(n+3)² oder Pascalschem Dreieck

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Kein Problem :).

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kannst du mir sagen, wie das für (n-1)³+n³+(n+1)³ aussieht?
Durch das (n-1) läuft das ganze ja ein wenig anders und ich häng beim Induktionsschritt fest.
ich komm dort auf 3n³+9n²+15n+9. Die 3 und die 15 sind ja eindeutig nicht durch 9 teilbar, wo liegt der Fehler?

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Hast Du mir mal die gesamte Aufgabenstellung?

Oder ist die selbige wie oben, nur dass statt n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 nun (n-2)^3 + (n+1)^3 + n^3 gewählt wurde?

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ja klar, sorry!

Also die aufgabe an sich ist fast die gleiche:

Man beweise für alle n Element N durch vollständige Induktion:
an := (n-1)³+n³+(n+1)³ ist durch 9 teilbar.

für a1 also 0³+1³+2³=9 - ist durch 9 teilbar.

Als Induktionsschrit habe ich für an+1 also stehen: ((n+1)-1)³+(n+1)³+((n+1)+1)³=n³+(n+1)³+(n+2)³

Und da komm ich dann durch ausmultiplizieren auf 3n³+9n²+15n+9

Bzw. im Prinzip müsste ich es ja wie in obiger Rechnung machen und dann meine Induktionsannahme in der Gleichung finden, allerdings bekomme ich das (n-1)³ nicht in die Gleichung.

Besten Dank!

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Ich würde da vorgehen wie oben. Du solltest die Induktionsannahme nutzen.

Man beweise für alle n Element N durch vollständige Induktion:
an := (n-1)³+n³+(n+1)³ ist durch 9 teilbar.

Wir haben jetzt beim IS:

n³+(n+1)³+(n+2)³     | Dann füge nun noch ein (n-1)^3 - (n-1)^3 an.

= (n-1)^3 + n³+(n+1)³+(n+2)³-(n-1)^3

Du musst nun nur noch die letzten beiden Summanden anschauen:

(n+2)³-(n-1)^3 = 9n^2 + 9n + 9

Und damit ist die Sache erledigt^^.

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super
Wusste doch, dass es irgendwas simples geben muss um auf die lösung zu kommen.
aber bin nicht auf das +/- (n-1)³ gekommen :D

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:D

\(      \)

Answer 2

n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3 ist durch 9 teilbar

Induktionsanfang: n = 1

1^3 + (1 + 1)^3 + (1 + 2)^3 ist durch 9 teilbar

36 ist durch 9 teilbar

Induktionsschritt: n --> n + 1

(n + 1)^3 + (n + 2)^3 + (n + 3)^3 ist durch 9 teilbar

(n + 1)^3 + (n + 2)^3 + n^3 + 9·n^2 + 27·n + 27 ist durch 9 teilbar

(n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3) + 9·(n^2 + 3·n + 3) ist durch 9 teilbar

Die Summe zweier durch 9 teilbarer Zahlen ist wieder durch 9 teilbar.