Welche der Teilmengen sind Untervektorräume

Question

Welche der Teilmengen des reellen Standardvektorraumes ℝ^3 sind Untervektorräume?

U₁ := {(x,y,z) | x<0}

U₂ = {(x,y,z) | 3xy=z^2}

U₃ = {(x,y,z) | 3x+2y= -z}

U₄ = {(x,y,z) | x∈ℚ}

U₅ = {(t, 3t, -t) | t ∈ℝ}

Answer 1

U3 und U5 sind UVR (eigenschaften nachprüfen!), bei den anderen findest du einfache Gegenbeispiele  die gegen die einzelnen Vektorraumeigenschaften verstoßen.

Gruß

Comments

Und was muss ich dafür konkret machen? Kannst du mir vielleicht eine Aufgabe als Beispiel vorrechnen? Wäre echt klasse!

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Nehmen wir z. B. U1. Was erfüllt diese Menge nicht, was sie erfüllen müsste, um ein UVR zu sein?

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Bei U₁ reicht es, denke ich, zu zeigen dass der 0_V=(0,0,0) nicht Element von U₁ ist bzw. zu zeigen, dass durch multiplikation mit einem a<0 aus dem Körper kein Vektor der Art (x,y,z) mit x<0 entsteht.
Bei U₂ kann man leicht nachrechnen, dass die komponentweise Addition von zwei Vektoren a und b die beide Element von U₂ sind nicht unbedingt ein Vektor entsteht, der in U₂ liegt.

U₃ ist doch kein UVR? Wenn ich a=(3,2,-5) und b=(-1,1,1)  wähle, die ja beide Element von U₃ sind, erhält man nach komponentenweiser Addition den Vektor a+b=(2,3,-4) der ja nicht 3*2+2*3=-(-4) erfüllt.,

U₄: einfache multiplikation eines Vektoren a aus U₄ mit einer reellen Zahl (z.B. die eulersche Zahl) aus dem Körper führt auf die Erkenntnis das x nach dieser Rechenoperation ja gar keine rationale Zahl mehr ist.
U₅: stumpfes Anwenden der Defintion liefert das Ergebnis, dass U₅ ein UVR des Standardvektorraums ist.

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U1 und U2 hast du richtig erkannt

U3: Dein a ist kein Element von U3. (3,2,-13) wäre ein Element von U3 und die Addition hält für beliebige Elemente aus U3.

U4: es sollte eine irrationale (keine beliebige reelle) Zahl sein, aber das meintest du bestimmt.

U5: Jop. U5 is ja einfach nur eine Gerade im R^3

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zu U₃: Hups :D

Gut dass du es sagst, Brett vorm Kopf. Danke nocheinmal für die Antwort.

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Danke ihr beiden. Habe es jetzt.