n ∈ N, F ist Körper mit n Elementen, GL

Question

Folgende Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ und sei F ein Körper mit n Elementen. Zeigen Sie: Die Menge GL₂(F) := {A ∈ M₂(F) | det(A) ≠ 0} ist eine endliche Gruppe (bzgl. Matrizenmultiplikation). Bestimmen Sie die Anzahl ihrer Elemente.

Idee:

Ich vermute mal das die Gruppe zwei Elemente hat. Also char (F) = 2 ?!

Ehrlich gesagt weiß ich auch nicht wie ich weiter machen soll. Ein Ansatz wäre nett.

Comments

Habe nochmal über diese Aufgabe nachgedacht und würde sagen, dass F ein endlicher Körper ist, da 2x2-Matrix doch irgendwie eine Beschränkung ist, oder?

Wäre super, wenn mir da jemand helfen kann.

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Hab noch etwas nachgelesen und bin jetzt darauf gekommen:

Die Menge GL₂(F) ist ein endlicher Körper, da er durch die Primzahl p=2 beschränkt und damit endlich ist. Die Determinante ist ≠0 also wird auch jegliche Matrizenmultiplikation aus der Menge ≠0 sein.

Weil n=2 ist char(F)=2 und damit hat die Gruppe 2 Elemente.

Würde das als Argumentation gehen ? Oder muss ich das mit einem rechnerischen Beispiel zeigen, so wie bei dir ?

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Zusätzlich: A ist invertierbar

Answer 1

Die Elemente von GL2(F) sind doch 2x2 Matrizen mit det ungleich Null
und die Zahlen in der Matrix sind ale aus F.

probier doch mal was rum   mit  ( 0  1) und das mal sich selbst etc.
                                                             1  0

Comments

Jetzt hab ich es:

Du nimmst die Matrix    1    1

1     0

Die hat det   1*o - 1*1 = -1 also ungleich 0

aber

M * M  =     1+1      1

1         1

da Gl... eine Gruppe ist, ist M*M auch aus der Gruppe

also det ungleich 0   also 1+1 = 0

also F Körper mit 2 Elementen

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Hab noch etwas nachgelesen und bin jetzt darauf gekommen:

Die Menge GL₂(F) ist ein endlicher Körper, da er durch die Primzahl p=2 beschränkt und damit endlich ist. Die Determinante ist ≠0 also wird auch jegliche Matrizenmultiplikation aus der Menge ≠0 sein.

Weil n=2 ist char(F)=2 und damit hat die Gruppe 2 Elemente.

Würde das als Argumentation gehen ? Oder muss ich das mit einem rechnerischen Beispiel zeigen, so wie bei dir ?

Zusätzlich: A ist invertierbar

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"Die Menge GL₂(F) ist ein endlicher Körper, da er durch die

Primzahl p=2 beschränkt und damit endlich ist.  "

Das finde ich so nicht ganz richtig.

Muss doch deutlich werden, dass das 2x2 Matrizen sind.