Wenn wir die Grenzwerte von Funktionen betrachten hängt es sehr stark vom Definitionsbereich ab. Grundsätzlich ist die Definition die, dass eine reelle Funktion \( f: D \to \mathbb{R} \) an der Stelle \(x_0 \) einen Grenzwert \( c\) besitzt, wenn für alle möglichen Folgen \( x_n \) deren Folgenglieder im Definitionsbereich liegen und die gegen \(x_0\) konvergieren gilt:
$$ \lim \limits_{x_n \to x_0} f(x_n) = c $$.
Hierbei muss \(x_0\) selbst nicht im Definitionsbereich liegen, aber ein Häufungspunkt von \( D\) sein, das heißt in jeder Umgebung um diesen Punkt müssen unendlich viele Elemente aus dem Definitionsbereich liegen.Beispiel: Infimum und Supremum einer Definitionsmenge, Polstellen, unendlich und -unendlich
Beispiel für die Verwendung der links- und rechtsseitigen Grenzwerte:Polstellen liegen ja mitten im Definitionsbereichs. Hier findest du Folgen die von "beiden Seiten" gegen die Polstelle konvergieren. Hier müssen links- und rechtsseitiger Grenzwert verglichen werden. Sind sie gleich, so existiert der Grenzwert der Funktion und die Definitionslücke ist wie du sagst "behebbar" (oder anders ausgedrückt stetig erweiterbar). Unterscheiden sie sich so existiert der Grenzwert nicht.(Allgemein ist also die Übereinstimmung der links- und rechtsseitigen Grenzwerte als Kritierum für die Existenz des Grenzwerts für eine beliebige Stelle die im inneren des Definitionsbereichs liegt verwendbar).
Beispiel für die Verwendung einseitiger Grenzwerte:Infimum und Supremum einer Definitionsmenge und unendlich und -unendlich, da i diesen Fällen nur jeweils der passende einseitige Grenzwert untersuchbar ist (für die "andere Seite" ist die Funktion ja nicht definiert).
