Probleme mit Potenzen und Wurzeln: Bsp: (1/(a - 1))^2/((a - 1)/1)^{-3}·(1/(a - 1))^5

Question

Ich stehe vor einigen Verständnisproblemen. Am Freitag schreibe ich meine Prüfung (inkl. Logarithmen), aber irgendwie gelingt es mir nicht, komplexere Aufgaben (für mich zumindest) zu lösen. Die Potenz- und Wurzelgesetze habe ich mir angeschaut, auch via Youtube-Videos. Trotzdem will es mir oft nicht gelingen, diese dann in den Aufgaben anzuwenden (leider).

Ich wäre zunächst froh, wenn jemand mir Schritt für Schritt folgende Aufgaben erklären könnte (Lösungsweg).

Aufgabe 1:

$$ \left[ \left( \frac { 1 } { a - 1 } \right) ^2 : \left( \frac { a - 1 } { 1 } \right) ^{-3} \right] \times \left( \frac { 1 } { a - 1 } \right) ^5 $$

Lösung gemäss Skript: $$ (a-1)^{-4} $$

Aufgabe 2:

$$ (10^{1005} - 10^{1002}) : 10^{999} $$

Lösung gemäss Skript: 999'000

Aufgabe 3:

$$ [{\sqrt[4]{a}^{\sqrt{2}}}]^{\sqrt{2}} $$

Lösung gemäss Skript: Wurzel aus a

Es gäbe noch zig andere Aufgaben, jedoch wäre ich dankbar, wenn mir jemand obengenannte Aufgaben erklären könnte. In unserem Lehrmittel sind keine Lösungswege angegeben, die Theorie für 20 Aufgaben-Seiten ist minimal.

Answer 1

(1/(a - 1))^2/((a - 1)/1)^{-3}·(1/(a - 1))^5

Ich kann den Kehrwert der Basis nehmen, indem ich die Gegenzahl im Exponenten nehme.

(a - 1)^{-2}/(a - 1)^{-3}·(a - 1)^{-5}

Ich kann statt durch eine Potenz zu teilen auch mit der Gegenzahl im Exponenten multiplizieren.

(a - 1)^{-2}·(a - 1)^3·(a - 1)^{-5}

Ich multipliziere Potenzen mit gleicher Basis indem ich die Exponenten addiere

(a - 1)^{-2 + 3 + (-5)}
(a - 1)^{-4}

(10^1005 - 10^1002)/10^999
10^1005/10^999 - 10^1002/10^999
10^{1005-999} - 10^{1002-999}
10^{6} - 10^{3}
1000000 - 1000
999000

Die c. Wurzel aus a^b lässt sich auch schreiben als a^{b/c}

((a^{1/4})^√2)^√2
(a^{1/4*√2*√2}
a^{1/4*2}
a^{1/2}
√a