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Die Aufgabe ist. : Bestimme mit Hilfe des Differenzenquotienten die Ableitung an der Stelle x0 = 3.

Die Aufgabe 2 ist. : Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle x0 = -0.5

BITTE MIT RECHNUNGSSCHRITTEN UND ERKLÄRUNG :)
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Ich beginne mit der Tangentengleichung.

f(x)= x4 - 5x2 + 4

f ' (x) = 4x^3 - 10x

f '(-0.5) = 4*(-0.5)^3 - 10*(-0.5)

         = - 0.5 + 5 = 4.5

f(-0.5) = 0.5^4 - 5*0.5^2 + 4 = 2.8125

t: y = 4.5 x + q

2.8125 = 4.5 * (-0.5) + q

2.8125 + 2.25 = q = 5.0625

t: y = 4.5 x + 5.0625

Skizze als Kontrolle:

Skizze zum ersten Teil. Hier musste ich den Graphen stauchen. Die Skala auf der y-Achse sollte an den Stellen 4, 40 und 80 beschriftet sein (nicht 0.4, 4 und 8)

Man soll hier gemäss Fragestellung die Steigung im Punkt (3|40) berechnen.

f(x)= x4 - 5x2 + 4

Ich hoffe jetzt mal, dass du die Regel zum ableiten von Potenzfunktionen schon benutzen darfst.

f ' (x) = 4x^3 - 10x

f ' (3) = 78

Die gesuchte Steigung beträgt 78.

von 162 k 🚀
Bitte. Das Resultat mit der 93 vermutlich schon. Unklar ist nur, ob ihr das so machen dürft. Ist jetzt 78. vgl. Julian.
Das Resultat 93 ist für die erste Aufgabe nicht richtig, denn die Ableitung beträgt

f'(x) = 4x^3 - 10x

also

f'(x) = 78

 

Die ausführliche Rechnung mit Differenzenquotient habe ich oben nochmal gepostet.
+1 Daumen

Da es explizit gewünscht ist, nochmal mit Differenzenquotient:

$$ f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h } $$

Dafür setzt man nun die Funktionsgleichung für den Punkt x ein (ich lasse den Limes erstmal weg und führe den Grenzwert erst ganz am Ende durch):

$$ \begin{array} { l } { \frac { ( 3 + h ) ^ { 4 } - 5 * ( 3 + h ) ^ { 2 } + 4 - \left( 3 ^ { 4 } - 5 * 3 ^ { 2 } + 4 \right) } { h } = \frac { \left( 9 + 6 h + h ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 5 * \left( 9 + 6 h + h ^ { 2 } \right) - 81 + 45 } { h } } \\ { = \frac { 81 + 108 h + 54 h ^ { 2 } + 12 h ^ { 3 } + h ^ { 4 } - 30 h + 5 h ^ { 2 } - 81 } { h } } \\ { = \frac { 78 h + 59 h ^ { 2 } + 12 h ^ { 3 } + h ^ { 4 } } { h } = 78 + h \left( 59 + 12 h + h ^ { 2 } \right) } \end{array} $$

Führt man nun den Grenzwert durch, so geht der zweite Term gegen 0 und übrig bleibt

f'(3) = 78

von 10 k

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