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Ich habe die folgende Aufgabe:

Der Homomorphismus \(\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) werde bezüglich der Standardbasen durch die Matrix \(M = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & 2  \end{pmatrix}\)

beschrieben. Man berechne die Darstellungsmatrix von \(\phi\) bezüglich der Basis

\(a_1= (0, 1, 1)^t\), \(a_2= (1, 0, 3)^t\), \(a_3= (1, 0, 1)^t\)

des \(\mathbb{R}^3\) und der Basis

\(b_1= (1, 1)^t\), \(b_2= (1, -1)^t\)

des \(\mathbb{R}^2\).

Lösung: 

Die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2, e_3\)} nach {\(a_1, a_2, a_3\)} ist

\(A = (a_1, a_2, a_3) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}\)

und die Übergangsmatrix von {\(e_1, e_2\)} nach {\(b_1, b_2\)} ist

\(B = (b_1, b_2) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\)

Damit lautet die Datrstellungsmatrix \(M'\) des Homomorphismus \(\phi\) bezüglich der Basen {\(a_1, a_2, a_3\)} und {\(b_1, b_2\)}:

\(M' = B^{-1}MA = \frac{1}2{}\begin{pmatrix} 3 & 13 & 5 \\ 4 & -1 & -1\end{pmatrix}\)


Die erste Übergangsmatrix \(A\) ist ja die Darstellung der {\(a_1, a_2, a_3\)} durch die Standardbasis und \(B\) ist dementsprechend die Darstellung der {\(b_1, b_2\)} durch die Standardbasis. Wie kommt man aber auf die Darstellungsmatrix \(M' = B^{-1}MA\)?

Danke für die Antworten.

von

1 Antwort

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wenn ein Vektor x durch die ai dargestellt wird, hast du
x = x1*a1+ x2* a2 + x3*a3  und damit ist x in der Standarddarstellung gerade
                  x1
x =  A  *     x2    
                  x3

Die gegebenen Matrix mal dieses dieses Ergebnis ist dann also die
Darstellung von  φ(x)    [ Der geht übrigens von IR^3 nach IR^2 ]
durch die Basis mit den b1,b2 
um das auf die Standardbasis zurüch zu rechnen, musst du nicht etwa
die Matrix B [ denn mit der rechnet man ja von der Stand.basis nach b1,b2]
sondern die Inverse von B damit multiplizieren; denn diese macht ja genau das
Gegenteil.

Also insgesamt erst   A * x
dann M damit multiplizieren M * A * x
und dann B^{-1} mit dem bisherigen multiplizieren gibt
                                    B^{-1} *M * A * x
und was dabei entsteht,  ist die Darstellung von  φ(x) durch die
Standardbasis.
von 228 k 🚀

Danke, ich habe es verstanden.

Noch eine Frage: Die Matrix \(A\) erhält man doch, indem man die Vektoren \(a_1, a_2, a_3\) als Linearkombination von \(e_1, e_2, e_3\) schreibt, oder? Also:

\(\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \(0\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(1\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}\) = \(1\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(3\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 

\(\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) = \(1\begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end {pmatrix} \) + \(0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) + \(1\begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) 


Dann ist die Übergangsmatrix: \(\begin {pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end {pmatrix}\)

Na ja, wenn du das Ergebnis betrachtest, siehst du ja:

Die Spalten der Matrix sind genau die drei Vektoren a1, a2,,a3a1,

In diesem Fall ist das ja klar, da es sich um die Standardbasis handelt, aber bei anderen Basen kann ich ja so vorgehen.

Ja genau, da muss man dann u.U. etwas mehr rechnen.

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