Eine Lineare Abbildung ist bei uns so definiert:
F: V → W ist linear über V, W (Körper Vektor Räume), falls ∀x, y ∈ V und ∀α, β ∈ K gilt:
F(αx + βy) = αF(x) + βF(x)
Nun habe ich diese Aufgaben:
Untersuchen Sie, ob folgende Operatoren linear sind:
(a) \( A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;(x, y, z) \mapsto a\left(a \in \mathbb{R}^{3}\right. \) konst.),
(b) \( B: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} ;\left(x, y, z \mapsto(x, y, z)+a\left(a \in \mathbb{R}^{3}\right.\right. \) konst.),
(c) \( C: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} ;(x, y, z) \mapsto x^{2}+2 y \),
(d) \( D: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} ;\left(x_{i}\right)_{i=1}^{n} \mapsto\left(\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} x_{i}, 0, \ldots, 0\right),\left(a_{i}\right)_{i=1}^{n} \in \mathbb{R}^{n} \)
$$ A: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3; (x, y, z) \rightarrow a ~ (a \in \mathbb{R}^3 \text{konstant}) $$
Der erste Schritt ist dieser:
$$ A \left( \alpha \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} \right) = \alpha $$
Hier verstehe ich überhaupt nicht, wie man zu α kam.
Der zweite Schritt ist dieser:
$$ \alpha A \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \beta A \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix} = \alpha (a) + \beta (a) $$
Diesen Schritt verstehe ich.
Da Lösung 1 ≠ Lösung 2, handelt es sich nicht um eine lineare Abbildung.
Ähnlich habe ich es auch mit den anderen Aufgaben gemacht, wobei ich immer den 1 Schritt nicht begreife.
