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Hier noch eine weitere Aufgabe, bei der ich gern wissen würde, ob ich es richtig gemacht habe. Falls jemand Ratschläge hat, wie man diese einfacher lösen kann (also ohne Erweiterung), wäre ich ebenfalls dankbar.

\( b_{n}=\frac{\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}-\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}}{\sqrt{2 n^{8}-17}-\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}}=\frac{A_{l}}{B_{I}} \)

\( =\frac{A_{l}\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{B_{l}\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)} \)

\( =\frac{\left(n^{8}+30 n^{7}+1-n^{8}-10 n^{7}-5\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{\left(2 n^{8}-17-2 n^{8}-100 n^{7}-3\right)\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)} \)

\( =\frac{\left(20 n^{7}-4\right)\left(\sqrt{2 n^{8}-17}+\sqrt{2 n^{8}+100 n^{7}+3}\right)}{\left(-100 n^{7}-20\right)\left(\sqrt{n^{8}+30 n^{7}+1}+\sqrt{n^{8}+10 n^{7}+5}\right)} \)

\( =\frac{ n^{7}\left(20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{2-\frac{17}{n^{8}}}+\sqrt{2+\frac{100}{n}+\frac{3}{n^{7}}}\right)  }{5 n^{7}\left(-20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{30}{n}+\frac{1}{n^{8}}}+\sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{5}{n^{8}}}\right)} \)

\( {n \mapsto \infty} \space \frac{ \left(20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{2-\frac{17}{n^{8}}}+\sqrt{2+\frac{100}{n}+\frac{3}{n^{7}}}\right) }{ {5\left(-20-\frac{4}{n^{7}}\right)\left(\sqrt{1+\frac{30}{n}+\frac{1}{n^{8}}}+\sqrt{1+\frac{10}{n}+\frac{5}{n^{8}}}\right)} } \)

\( =\frac{(20-0)(\sqrt{2-0}+\sqrt{2+0+0})}{5(-20-0)(\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1+0+0})}=\frac{20(\sqrt{2}+\sqrt{2})}{-200}=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}}{10} \)

von

1 Antwort

+1 Daumen

Das Ergebnis stimmt, wenn man mit dem Rechner mal etwas größere Zahlen für n einsetzt kommt immer etwa -0,28285 heraus und das ist etwa -2√(2) / 10.

Einen einfacheren Weg sehe ich auch nicht.

von 259 k 🚀

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