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6. Berechnen Sie den Abstand des Punktes \( \mathrm{P}(-10 | 3 | 5) \) von der Geraden g:

\( \vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 5 \\ 3 \end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right) \)

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Bild Mathematik


Der Abstand der Punktes P von g entspricht der Höhe des von AB und AP aufgespannten Parallelogramms.

Die Fläche des Parallelogramms ist das Produkt aus Grundseite und Höhe.

F = |AB| * h 

F = | AB x AP |       nach Definition des Vektorprodukts (Kreuzprodukts).

Du kannst somit h berechnen, ohne explizit den Höhenfusspunkt zu bestimmen.

h = | AB x AP | / |AB|

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Verschaffe dir die Koordinatengleichung der Hilfsebene H durch P, die senkrecht zur Geraden g liegt. Schneide dann g und H und bestimme den Abstand des Schnittpunktes zum Punkt P als den gesuchten Abstand.
von

Ist das so richtig?

H = [ x - (-10, 3, 5)] • (2, -1, -2)

H: 2x-y-2z = -33

2•(-2 + 2r) -1 •(5-r) -2 •  (3-2r) = -33

9r = -18

r = -2

x = (-2, 5, 3) + (-2) • (2, -1, -2) = (-6, 7, 7)

F= (-6/7/7)

ΙFPΙ = √(-10- (-6))2 + (3+7)2 + (5+7)2

= 6LE

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d = |([-10, 3, 5] - [-2, 5, 3]) ⨯ [2, -1, -2]| / |[2, -1, -2]| = 6

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