Zeigen, dass in allen Gruppen Kürzungsregeln gelten

Question

In einer Halbgrupppe (H, ⋆) gilt die Kürzungsregel, wenn für alle a, b, c ∈ H folgendes gilt:

a⋆b=a⋆c⇒b=c 

b⋆a=c⋆a ⇒ b=c.

Zeigen Sie, dass in allen Gruppen die Kürzungsregel gilt.

Ich bitte um Hilfe bei Dieser Aufgabe. Ich weiss leider nicht, wie heran. Ein Monoid benötigt ein neutrales Element, ich nehme an, als Verknüpfung ist hier die Multiplikation gemeint.

Answer 1

b⋆a=c⋆a ⇒ b=c.

Zeigen Sie, dass in allen Gruppen die Kürzungsregel gilt.

Wenn du in einer Gruppe die Gleichung

b⋆a=c⋆a hast, multiplizierst du einfach von rechts mit dem Inversen a^{-1} von a, welches

es ja in einer Gruppe immer gibt

b⋆a*a^{-1}=c⋆a*a^{-1} dann hast du mit dem neutralen El . e

b*e = c*e also

b=c

und umgekehrt, bei

a*b = a*c von links mit a^{-1} multiplizieren.