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folgende Aufgabe habe ich so gelöst:

$$ Grundlage\quad Potenzgesetz\\ { x }^{ 4 }={ ({ x }^{ 2 }) }^{ 2 }\\ Aufgabe\\ 2{ x }^{ 4 }=4-{ 2x }^{ 2 }\\ Umformen\\ 2{ x }^{ 4 }=4-{ 2x }^{ 2 }\quad |-4|+{ 2x }^{ 2 }|:2\\ { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-2=0\\ Lösung\\ { x }^{ 4 }-{ x }^{ 2 }-2=0\quad |Subst.\quad Annahme:\quad z={ x }^{ 2 }\\ { z }^{ 2 }+z-2=0\quad |PQ-Formel\quad anwenden:\quad { x }_{ 1/2 }=-\frac { P }{ Q } { + }/{ - }\sqrt { (\frac { P }{ 2 } )^{ 2 }-Q } \\ \\ +\frac { 1 }{ 2 } { + }/{ - }\sqrt { (\frac { 1 }{ 2 } )^{ 2 }+2 } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { + }/{ - }\sqrt { \frac { 2 }{ 4 } +\frac { 2 }{ 1 }  } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { + }/{ - }\sqrt { \frac { 2 }{ 4 } +\frac { 8 }{ 4 }  } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { + }/{ - }\sqrt { \frac { 2 }{ 4 } +\frac { 8 }{ 4 }  } \Rightarrow \frac { 1 }{ 2 } { + }/{ - }\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } \\ \\ z_{ 1 }=\frac { 1 }{ 2 } +\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } =1,72\\ z_{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 } -\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } =-0,72\\ Umformen\quad \& \quad Resubstituieren\\ z=x^{ 2 }\quad |\sqrt { .. } \\ x=\sqrt { z } \\ \sqrt { z_{ 1/2 } } =x_{ 1/2 }\\ \sqrt { 1,72 } =\quad 1,311\quad und\quad -1,311\\ \sqrt { -0,72 } =\quad n.d.\\ Lösung\\ x_{ 1 }=1.311\quad und\quad x_{ 2 }=-1.311 $$

Wenn ich den umgeformten Ausgangsterm $$ {-2x}^{4}-{2x}^{2}+4 $$ jedoch mit Geogebra plotte, komme ich nicht auf die errechneten NST, siehe Bild:Bild Mathematik

Kann es sein das ich den falschen Term zur Probe plotte ?


Grüße,

Stephan

von
Dein erster Umformungsschritt enthält einen Vorzeichenfehler.

Oh stimmt, Es müsste lauten:

$$ {x}^{4}+{x}^{2}-2=0$$

Gruß,

Stephan

2 Antworten

+1 Daumen

2 * x^4 = 4 - 2 *x^2  | Substituion x^2 = z
2 * z^2 = 4 - 2 * z  | : 2
z^2 = 2 - z
z^2 + z = 2  | pq-Formel oder quadr.Ergänzung
z^2 + z + (1/2)^2 = 2 + 1/4
( z + 1/2 )^2 = 9/4
z + 1/2 = ±√ (9/4) = ± 3/2
z = ± 3/2 - 1/2
z = 1
z = -2
Zurückersetzen
x^2 = z
x = 1
x = -1
( Die 2 Lösung entfällt )


von 121 k 🚀

Hallo georgborn,

ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet, diesmal ohne Vorzeichenfehler und wieder mit PQ Formel, ich komme ebenfalls auf

z1=1 und z2=-2


Hier habe ich jedoch noch eine Frage zur Re-Substitution. Da es hier theoretisch 4 Lösungen gibt, wendet man:

$$ \sqrt(z1) und -\sqrt(z1) sowie \sqrt(z2) und -\sqrt(z2) $$

an. In den reellen Zahlen hat -2 jedoch keine Lösung bzw. ist n.d., daher entfällt die 2. Lösung so wie von dir beschrieben. Ist das so korrekt ?

Danke & Gruß,

Stephan

Wurzeln können nur aus positiven Zahlen
gezogen werden ( im reellen Zahlenbereich ).
Die -2 als Ergebnis entfällt.

Bei der Gleichung
x^2 = 1
gibt es allerdings 2 Lösungen da sowohl
(1)^2 und (-1)^2  eins ergibt.

Die Graphische Darstellung von Geobra ist
also bereits schon richtig mit x=-1 und x =1.

mfg Georg

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Hi, das ist sehr viel Aufwand. Versuche es mal so:
$$ \begin{aligned} 0 &= 2x^4 + 2x^2 - 4 \\\,\\ 0 &= 2\cdot \left(x^4 + x^2 - 2\right) \\\,\\ 0 &= 2\cdot \left(x^2+2\right)\cdot\left(x^2 - 1\right) \\\,\\ 0 &= 2\cdot \left(x^2+2\right)\cdot\left(x + 1\right)\cdot\left(x - 1\right)\\\,\\ &\dots \end{aligned} $$
von

leider verstehe ich nicht wie du von Zeile 2 zu Zeile 3 gekommen bist. Könntest du die Schritte einmal dazu schreiben ?


Danke & Gruß,

Stephan

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