+1 Daumen
736 Aufrufe

Bild Mathematik

Skizze der Funktion habe ich bereits, nun muss ich die Sektorfläche berechnen.

Ich weiß nun nicht wie ich dabei vorzugehen habe, bestimmt wird es über das Integral gemacht ?

Vielen Dank für eure schnelle Hilfe!

von

2 Antworten

0 Daumen

Hi,

als Anschubser: du sollst

$$ \int \limits_0^{2\pi} \int \limits_0^{r(\varphi)} rdrd\varphi $$

berechnen.

Dabei wirst du ganz natürlich über die Sektorformel von Leibniz stolpern.

Gruß

von 24 k
0 Daumen

Das ist ja fast die gleiche Frage noch einmal. Ich hatte Dir doch schon gesagt, dass man

phi nur bis Pi/2 laufen lassen braucht, um "ein halbes Ei" also A/4 zu berechnen.

Also mehr und über den Weg der kartesischen Koordinaten (Wikipedia hatte ich Dir auch...):

x=r*cos(t)=sin(t)²*cos(t)

y=r*sin(t)=sin(t)²*sin(t)

90° nach rechts gekippt:

x=sin(t)²*cos(t),y=sin(t)²*sin(t) ergibt mit

inverse sin(t)²*sin(t) = asin(y^{1/3})

x(y)=sin(asin(y^{1/3}))²*cos(asin(y^{1/3})) nun x & y vertauschen, da 90° gedreht:

y= sin(asin(x^{1/3}))²*cos(asin(x^{1/3})) von 0 ... 1

sin(asin(x^{1/3}))²*cos(asin(x^{1/3})) = sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3}

1/4 der gesuchten Gesamtfläche beträgt also:

A/4 = ∫ sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3} dx, x=0...1 = 3Pi/32 =  0.294524311274...

siehe Bild:  sqrt(1-x^{2/3}) x^{2/3}=sqrt(1-pow(x,2/3))*pow(x,2/3)

http://www.gerdlamprecht.de/Liniendiagramm_Scientific_plotter.htm

Bild Mathematik

A = 4 * A/4 ... -> nun alles verstanden?

von 5,6 k

Super danke euch beiden!! :-)

Habe den oberen Teil verstanden, kannst du mir nochmal erklären wie man auf die 3pi/32 am Ende kommt. was hast du eingesetzt ?

Zwischenschritt: 

∫ sqrt(1-x2/3) x2/3 dx  = (sqrt(1-x^{2/3})*(-3 x^{1/3}-2 x+8 x^{5/3})+3 asin(x^{1/3}))/16 

die Grenze hatte ich bereits angegeben (bei x=0 kommt 0 raus und bei 1 das angegebene).  

Interessant wäre, ob der andere Lösungsweg von Yakyu auch auf 3Pi/8 kommt...

Konnte es nicht abwarten und habe Doppelintegral nachgerechnet:

1. innere Integral:

∫  x dx,x=0...x = x²/2  dann außen:

∫ sin(x)^4/2,x=0...2Pi = 3Pi/8 -> ja , selbe Ergebnis

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community