Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersuchen und Werte von Reihen

Question

Aufgabe H57 - Konvergenz von Reihen:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

(a) $\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{5+n}{5 n}\right)^{n}$

(b) $\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n^{2}+2 n+2}}$

(c) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{33(n !)^{3}}{(3 n) !}$

(d) $\sum \limits_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{2}-\sin (n)}$

Aufgabe H58 - Werte von Reihen:

Bestimmen Sie die Werte folgender Reihen.

(a) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n+2}}{2 \cdot 5^{n}}$

(b) $\sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{n^{k}}{(n+1)^{k}}$ für $n \in \mathbb{N}$

(c) $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(n+1)(n+3)}$

Hinweis: Zeigen Sie für (c) zunächst, dass $\frac{2}{(n+1)(n+3)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}$ gilt.

Ansatz/Problem:

Wir haben das Thema Konvergenz von Reihen und Werte von Reihen. Ich habe mir durchgelesen, wie man die Konvergenz beweist, Quotientenkriterium usw. ich kann das Prinzip aber nicht anwenden.

Answer 1

z.B. bei a) Wurzelkriterium:

n-te Wurzel aus |an| ist (5+n) / (5n) =  5/(5n) + n/(5n) = 1/n + 1/5 also für n>2

jedenfalls < 1/2 + 1/5 = 7/10 < 1

da n-te Wurzel aus |an| für alle n>2 konvergiert die Reihe sogar absolut.

bei b) würde ich mit quot. probieren.