Polynom p, das durch Punkte (0,3), (1,5) und (-2,3) geht. Dann Nullstellen von p und p auf Scheitelpunktform bringen

Question

Finden Sie ein Polynom p(x), welches durch die Punkte (0,3), (1,5) und (-2,3) geht.

Berechnen Sie danach die Nullstellen von p und bringen Sie p auf Scheitelpunktform.

Verfahren Sie wie oben, jedoch mit den Punkten (-1,5), (2,-1) und (1,3).

Answer 1

1. Parameterbestimmung:
Man stellt drei lineare Gleichungen auf um die 3 Parameter der quadratischen Gleichung zu bestimmen.

2. Polynom:
y = -x² - x + 5;

3. Nullstellen:
Aus Lösungsformel für quadratische Gleichungen ->
x_0;1=    21^1/2/2 - 1/2
x_0;2=  - 21^1/2/2 - 1/2

4. Scheitelpunktform:
Über quadratisches Erweitern
y = (-1) * (x+0,5)² + 5,25;
 

Comments

Deine Lösung stimmt nicht. Zumindest für die Punkte in der Fragestellung. Für die alternativen Punkte stimmt sie.

Answer 2

Finden Sie ein Polynom $p(x)$, welches durch die Punkte A$(0|3)$, B$(1|5)$ und C$(-2|3)$ geht.

Ich verschiebe alle Punkte um 3 Einheiten nach unten:

A´$(0|0)$, B´$(1|2)$ und C´$(-2|0)$ geht.

A und C liegen nun beide auf der x-Achse. → Nullstellenform der Parabel.

$f(x)=ax(x+2)$

B´$(1|2)$:

$f(1)=a(1+2)=3a=2$

$a=\frac{2}{3}$:

$f(x)=\frac{2}{3}x(x+2)$

um 3 Einheiten nach oben:

$p(x)=\frac{2}{3}x(x+2)+3$

Nun noch auf die Scheitelpunktform bringen.

Die Nullstellen sind nicht in ℝ.

Zum Vergleich:

Finden Sie ein Polynom $p(x)$, welches durch die Punkte A$(0|3)$, B$(1|5)$ und C$(-2|3)$ geht.

$p(x)=ax^2+bx+c$

A$(0|3)$:

$p(0)=c$

1.) $c=3$

B$(1|5)$

$p(1)=a+b+c$

2.)  $a+b+c=5$

C$(-2|3)$:

$p(-2)=4a-2b+c$

3.)  $4a-2b+c=3$

1.) in 2.) und 3.)  einsetzen:

2.)  $a+b+3=5$→ 2.)  $a+b=2$  → 2.)  $b=2-a$

3.)  $4a-2b+3=3$ → 3.) $4a-2b=0$ → 3.) $2a-b=0$  → 3.) $b=2a$

2.)=3.)     $2-a=2a$ →   $2=3a$   →  $a=\frac{2}{3}$ und $b=\frac{4}{3}$

$p(x)=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3$

______________________________-

Nullstellen von $p$

$\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3=0|\cdot \frac{3}{2}$

$x^2+2x+4,5=0|-4,5$

$x^2+2x=-4,5$ quadratische Ergänzung:

$x^2+2x+1=-4,5+1=-3,5$   1.Binom:

$(x+1)^2=-3,5$  Hier gibt es nun keine Lösungen in  ℝ

Scheitelpunktform:

$y=\frac{2}{3}x^2+\frac{4}{3}x+3 |:\frac{2}{3}$

$\frac{y}{\frac{2}{3}}=x^2+2x+4,5 |-4,5$

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-4,5=x^2+2x$  quadratische Ergänzung:

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-4,5+1=x^2+2x+1$    1. Binom:

$\frac{y}{\frac{2}{3}}-3,5= (x+1)^2|+3,5$

$\frac{y}{\frac{2}{3}}= (x+1)^2+\frac{7}{2} |\cdot \frac{2}{3}$

$y= \frac{2}{3}(x+1)^2+\frac{7}{3}$

S$(-1|\frac{7}{3})$

Comments

Prima. Jetzt gibt es zwei Antworten und keine in einer schülerfreundlichen Art wie Schüler es gewohnt lernen.

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...und keine in einer schülerfreundlichen Art wie Schüler es gewohnt lernen.

Meine Antwort ist da aber schon wesentlich schülerfreundlich.

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A und C liegen nun beide auf der x-Achse.

Nein, die liegen nach wie vor nicht auf der x-Achse.

Meine Antwort ist da aber schon wesentlich schülerfreundlich.

Wie kommst Du darauf? Weil Du, wie üblich, schülerfreundliche Erklärungen weggelassen hast? Weil Du, schülerfreundlich, komplexe Zahlen verwendest?

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Weil Du, schülerfreundlich, komplexe Zahlen verwendest?

Wahrscheinlich ist dir das in der Aufgabenstellung gar nicht aufgefallen, dass da steht:

Berechnen Sie danach die Nullstellen von $p$...

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Komplexe Nullstellen stehen aber nicht auf dem Lehrplan! Spricht man also von Nullstellen, sind damit immer reelle Nullstellen gemeint.

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Scroll mal in die Aufgabenstellung hoch!

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Du hast meinen und apfelmännchens Kommentar nicht verstanden. Gehst auch gar nicht darauf ein.

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Das ist ja nichts Neues. Er ignoriert wirklich sämtliche Kritik und Anmerkungen. Ständig versucht er mit aller Kraft seinen "Unfug" zu verteidigen. Einfach nur noch traurig.

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Ja, und auch alle gut gemeinten Hilfen prallen ab. Ja, traurig und unwürdig ist das. Wir haben leider keine Möglichkeit für Einsicht zu sorgen, auch wenn man's andauernd versucht. Andererseits dürfen unpassende "Lösungen" auch nicht unkommentiert stehen bleiben. Und so wird es dann so weitergehen wie bisher.

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Ich gehe jetzt davon aus, dass der FS irgendwo falsche Koordinaten gegeben hat oder, dass der Aufgabenersteller nicht kontrolliert hat, ob überhaupt Nullstellen vorhanden sind. Es ist aber ausdrücklich nach Nullstellen gefragt. Dann fiele mal der Kritikpunkt mit den komplexen Nullstellen weg.

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Ich denke, es interessiert ohnehin niemanden außer M. selbst, was er da herumfummelt und an immer gleichen Ergüssen von sich gibt.

Selbst Schüler würden schnell die Merkwürdigkeiten erkennen und die bereits vorhandenen, vernünftigen Ansätze verwenden.

Insofern entsteht kein großer Schaden, wenn man diese ‚Lösungen‘ einfach ignoriert.

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Verfahren Sie wie oben, jedoch mit den Punkten A$(\red {-1}|\blue {5})$, B$(2|-1)$ und C $(1|3)$

Finden Sie ein Polynom $p(x)$:

Für ein Polynom 2.Grades benötigt manr immer 3 Angaben. Die sind da.
Die allgemeine Form für dieses Polynom lautet:
$p(x)=ax^2+bx+c$ 
Die 3 Faktoren a,b und c lassen sich wie folgt berechnen:
$p(\red {-1})=a\cdot (\red {-1})^2+b\cdot (\red {-1})+c=a-b+c$
1.)
$a-b+c=\blue {5}$
B$(2|-1)$:
$p(2)=a\cdot (2)^2+b\cdot (2)+c=4a +2b+c$
2.)
$4a +2b+c=-1$
C $(1|3)$:
$p(1)=a\cdot (1)^2+b\cdot (1)+c=a+b+c$
3.)
$a+b+c=3$
Nun ziehe ich die 3. Gleichung von der 1.) ab:
   $a-b+c=\blue {5}$
$-(a+b+c=3)$
.............................
       $-2b=2$  →    $b=-1$
Nun setze ich  $b=-1$  in 1.) $a-b+c=\blue {5}$:
1.) $a+c=4$
$b=-1$ in 2.) eingesetzt:
2.) $4a+c=1$
2.) -1) $a=-1$
3.)
$a+b+c=3$   → $-1-1+c=3$→$c=5$
Die Polynomfunktion lautet somit:
$p(x)=-x^2-x+5$

Scheitelpunktform:

$p(x)-5=-x^2-x|\cdot (-1)$

$-p(x)+5=x^2+\red{1}x$  quadratische Ergänzung $+(\frac{\red{1}}{2})^2$

$-p(x)+5+(\frac{\red{1}}{2})^2=x^2+\red{1}x+(\frac{\red{1}}{2})^2$   1.Binom:

$-p(x)+5,25=(x+\frac{\red{1}}{2})^2|\cdot (-1)$

$p(x)-5,25=-(x+\frac{\red{1}}{2})^2|+5,25$

$p(x)=-(x+\frac{\red{1}}{2})^2+5,25$

Nullstellen:

$-(x+\frac{\red{1}}{2})^2+5,25=0|-5,25$

$-(x+\frac{1}{2})^2=-5,25|\cdot (-1)$

$(x+\frac{1}{2})^2=5,25|±\sqrt{~~}$
1.)

$x+\frac{1}{2}=\sqrt{5,25}$

$x_1=-0,5+ \sqrt{5,25}$

2.)

$x+\frac{1}{2}=-\sqrt{5,25}$

$x_2=-0,5- \sqrt{5,25}$

Scheitelstellen kann man auch über die beiden Nullstellen finden:

$x_S= \frac{-0,5+ \sqrt{5,25}+(-0,5- \sqrt{5,25}}{2})=-0,5$

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Da 3 Punkte angegeben sind, handelt es sich um ein Polynom 2. Grades.

Diese Folgerung ist falsch.

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Hab es umgeändert. Ich erwarte noch einen weiteren Kommentar zu: "Ich gehe jetzt davon aus, dass der FS irgendwo falsche Koordinaten gegeben hat..."

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Wohl kaum, viel wahrscheinlicher ist es, dass in der Aufgabe zur Übung bewußt zwei verschiedene Fälle (statt 2x dasselbe) gewählt wurden.

Du willst doch nur krampfhaft deine komplexen Zahlen begründen…

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Du willst doch nur krampfhaft deine komplexen Zahlen begründen…

Tja, wenn eine Antwort schlecht ist, versucht man eben die Aufgabenstellung anzupassen. Gab es hier doch auch schon häufiger.

Nur weil eine Aufgaben lautet "Bestimmen Sie die Nullstellen...", heißt es noch lange nicht, dass nur reelle Nullstellen existieren. Insofern ist an der Aufgabenstellung und auch an den angegebenen Punkten nichts auszusetzen. Nach wie vor aber an der Antwort, denn - wie schon oben erläutert, was aber selbstverständlich ignoriert wird - sind im schulischen Bereich stets reelle Nullstellen gemeint.

Wird fortgesetzt.

Wenn du deine Ausführungen sowieso nicht zu Ende bringst, dann lass es doch einfach bleiben. Kommentare lassen sich nämlich nicht ewig lang bearbeiten.

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Also ich halte den Arbeitsauftrag "Man bestimme die Nullstellen. " für schlecht formuliert, wenn es gar keine gibt.

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Sind eigentlich Fragen nach Lösungen von z.B.

 $x^2+2x+ 8=0$ erlaubt?

Oder:

https://www.mathelounge.de/1088682/berechne-die-nullstellen-aus

z.B. 3a,  3d,

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3a) x² - 17·x + 60 = 0 --> x = 5 ∨ x = 12

3d) x² - 5·x + 9 = 2·x - 3 --> x = 3 ∨ x = 4

Generell sind auch Fragen nach komplexen Nullstellen erlaubt. Nur wären die Fragen auf Schulniveau unüblich.

x² + 2x + 8 = 0 hat in R keine Lösung. Studenten können dies aber im Bereich der komplexen Zahlen lösen. x = -1 ± √(1 - 8) = -1 ± √7·i. Achtung: Für Mathematiker ist das unsauber formuliert, denn die verbieten strikt die Wurzel aus negativen Zahlen. Aber Studenten im Bereich der angewandten Mathematik erlauben das so zu schreiben.

Wenn mit komplexen Zahlen gerechnet wird, dann haben wir früher immer statt x ein z genommen. Ich weiß aber nicht ob das einheitlich gemacht wird.

Answer 3

Ich schlage folgende Antwort vor:

$$p(x) = -\frac{2}{3} x^4 + \frac{8}{3} x^2 +3$$

Für das Polynom gilt $p(0) = 3$, $p(1) = 5$ und $p(-2) = 3$ Es erfüllt also die Bedingungen der Fragestellung.

Die Nullstellen kann man mittels der Substituion von $z = x^2$ und der daraus folgenden quadratischen Gleichung für $z$ berechnen.

Daraus folgen dann auch noch komplexe Nullstellen. Somit hat Moliets auch seine Ruhe. Und die anderen didaktisch geschulten Kommentatoren können sich darüber bestens streiten, ob das im Lehrplan steht oder nicht. Vielleicht noch nach Bundesländer getrennt. Denn Bildungspolitik ist ja Ländersache. Und natürlich auch darüber, ob diese Lösung Schülergerecht ist.

Eine Scheitelpunktsform gibt es hier natürlich nicht.

Und dann würde ich noch folgendes vorschlagen um das Forum konstruktiv zu beleben:

Es sollte eine spezielle Moliets Bashing Gruppe gegründet werden, natürlich nur mit vorher bestandenem Eignungstest der potentiellen Mitglieder. Aber da gibt es ja einige geeignete Kandidaten.

Und eine andere Gruppe sollte diskutieren was didaktisch sinnvoll und, selbstredend, schülerfreundlich ist. Diese Gruppe hat dann natürlich auch Vetorecht für eingereichte Antworten.

Was haltet ihr davon?