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Ich habe die Matrix \(A(p)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & p \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) mit \(p\in\mathbb{R}\) gegeben und muss für eine Aufgabe die Eigenwerte berechnen.

\(\chi_{A}( \lambda )=-\lambda^3+p\)


Wie komme ich jetzt auf die Eigenwerte? Danke.

von

2 Antworten

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Das Characteristische Polynom gleich Null setzen.

p - k^3 = 0 --> k = p^{1/3}

von 391 k 🚀

Hab einen Fehler gemacht, \(\chi_A(\lambda)=-\lambda^3+p+\lambda\).

Überprüf das mal. Ich glaube vorher war es richtig und jetzt verkehrt. Es sei denn die Matrix ist verkehrt.

Stimmt, ich war mir nur unsicher, weil die Eigenwerte sehr komisch sind.

Demnach ist \(\chi_A(\lambda)=(\sqrt[3]{p}-\lambda)(\dfrac{-\sqrt[3]{p}+\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)(\dfrac{-\sqrt[3]{p}-\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)\).

Eigentlich würde man das lieber so aufschreiben

- k^3 + = - (k - p^{1/3})·(k^2 + k·p^{1/3} + p^{2/3})

Also die Komplexen Nullstellen eigentlich nicht weiter aufsplitten. Aber da ist die Frage was genau eure Aufgabe ist?

Wir müssen dann die Jordan-Normalform und darauf aufbauend das Minimalpolynom der Matrix \(A(p)\) berechnen.

Kann es sein, dass die Jordan-Normalform dieser Matrix eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale ist?

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Löse die Gleichung \(\chi_A(\lambda)=0\).

von 1,7 k
Der einzige Eigenwert wäre ja dann \(\lambda_1=\sqrt[3]{p}\) Wäre das dann ein drei-facher Eigenwert?

Stell dir mal den Graphen des entsprechenden Polynoms vor. Ist \(\lambda_1\) eine dreifache Nullstelle?

Nein.


Wie soll ich aber das char. Polynom in Linearfaktoren zerlegen?

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