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Wie kann ich zeigen, dass

f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 eine Parabel ist?

von
Die Behauptung stimmt schon mal.
Vgl. WA. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B2xy%2By%5E2%2B2*%28x%2By%29%2B2x%2B1%3D0
Bild Mathematik

Die Menge der Punkte P(x,y), für die gilt x2+2xy+y2+2*(x+y)+2x+1=0 , liegen auf einer Parabel.  Wie genau habt ihr "Parabel" definiert?
Kannst du mit einer der alternate forms von Wolframalpha etwas anfangen?  Bild Mathematik

Kann das sein, dass man dafür eine Hauptachsentransformation machen muss?

https://de.wikipedia.org/wiki/Hauptachsentransformation

Ich habe das aber noch nicht gemacht.

x^2 + 2·x·y + y^2 + 4·x + 2·y + 1 = 0

[x, y]·[1, 1; 1, 1]·[x; y] + [4, 2]·[x; y] + 1 = 0

Eigenwerte: k = 0 und k = 2

Eigenvektoren: 1/√2·[1; -1] und 1/√2·[1, 1]

Diagonalmatrix: D = [2, 0; 0, 0]

Transformationsmatrix: T =  1/√2·[1, 1; 1, -1]

[x, y]·[2, 0; 0, 0]·[x; y] + [4, 2]·1/√2·[1, 1; 1, -1]·[x; y] + 1 = 0

Ausmultiplizieren

2·x^2 + 3·√2·x + √2·y + 1 = 0

y = - √2·x^2 - 3·x - √2/2

Jetzt sieht man leichter das es eine Parabel ist.

Bravo Mathecoach!

Ich hatte in der Nacht noch kurz bei Wikipedia geschaut, aber angesichts der Uhrzeit sofort aufgegeben.

1 Antwort

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$$ f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 $$
gibs ja mal gaaanich !!!
Entweder
$$ f(x,y)=x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1 $$
Das ist dann eine Funktion , die aus R^2 ---> R^1 abbildet und als dreidimensionale Oberfläche ( nicht Ebene!) dargestellt werden kann - OOOder
$$x^2+2xy+y^2+2*(x+y)+2x+1=0 $$
welches eine implizite Funktion im R^2 darstellt, also einen Kurvenzug bzw. Graphen auf einem zweidimensionalen Papierblatt zur Darstellung ermöglicht.
von

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