Die Tangenten an K1 in den Kurvenpunkten P(u/v) und Q(-u/v) bilden mit der Geraden y =1 ...

Question

Zu jedem t >0 ist eine Funktion f_t gegeben durch f_t(x)= (t*x²-4)/x²; x≠0. Ihr Schaubild sei K_t. Die Tangenten an K_{1 in den Kurvenpunkten P(u/v) und Q(-u/v) bilden mit der Geraden y =1 ein Dreieck mit dem Inhalt A(u)}. Bestimme A(u)! Begründe, dass A(u) keinen Extremwert annimmt! Rotiert dieses Dreieck um die y-Achse, so entsteht ein Kegel mit dem Volumen V. Zeige, dass V von u unabhängig ist!

Answer 1

Die Tangenten an K_{1 in den Kurvenpunkten P(u/v) und Q(-u/v) bilden mit der Geraden y =1 ein Dreieck mit dem Inhalt A(u)}. Bestimme A(u)!

f(x) = (x^2-4 ) / x^2  =  1 - 4/x^2    also   f(- u) = f(u) =  1-4/u^2

f ' (u) = 8/u^3    also Tangente in P   y = m*x + b

                                                       1-4/u^2 =  (  8/u^3   ) * u + b

                                                                  b = 1 - 12/u^2

also Tang in P:    y = (8/u^3) * x + 1 - 12/u^2     und in Q :   (8/u^3) * x + 1 - 12/u^2

gleichsetzen gibt den dritten Dreieckspunkt S ( 0 /   1 - 12/u^2)

Fläche  A(u) = 0,5 * g * h = o,5 * 2* u * ( 1 - 12/u^2) = u - 12/u 

mit A ' (u) = 1 + 1/u^2 > 0 für alle x aus dem Def. bereich, also keine Extrema.

Dreieck rotiert, gibt Kegel mit r= u und Höhe geht vom y-Wert von P bis zum y-Wert von S

h =  1-4/u^2    -  (  1 - 12/u^2)  = 8/u^2 

V = (1/3) * u^2 * pi *  8/u^2=  8*pi/3   also unabh. von u.