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Sei f: C [a,b] → ℝ die durch f(x)= ∫ von a über b x(t)^2 dt gegebene Abbildung. Zeigen Sie, dann f auf ganz ( C[a,b], II•II) stetig ist. Ist f auch Lipschitz-stetig?

von

Li Si ; mein Assistent " Gottschak "  hätte dir zynisch geantwortet

" Sie müssen was tun. "

<<  gleichmäßig stetig → f ist Lipschitz-Stetig

Die Schlussrichtung ist umgekehrt. Im Übrigen empfehle ich dir die ===> NSA ; IST von ===> Edward Nelson ( Alain Robert bei Wiley ) Weil wenn du erst mal Non-Standard Analysis kapiert hast, wird der Beweis trivial, dass eine L stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist.

3 Antworten

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Hallo Mathestudent20,

da ich das Thema gerade selber habe und noch nicht ganz so fit bin, möchte ich dir ungern Rat geben, wenn ich mir unsicher bin.

Überleg erst einmal, was du alles weißt über stetige Funktionen?

zB ist f diffbar → f ist stetig.

f gleichmäßig stetig → f ist Lipschitz-Stetig

schaue dir da die Definitionen nochmal an.

Wenn deine Funktion auf ganz (C[a,b], II•II) stetig ist, dann müsste sie auch Lipschitz-Stetig sein, da die Supremumsnorm aussagt, dass f beschränkt ist und das einzige, was Lipschitz-Stetigkeit aussagt auch die Beschränktheit ist.

Ich hoffe die Tipps helfen dir, fürs Erste.

von

Ich denke ja das es nicht Lipschitz stetig ist, konkret beweisen kann ich dies nicht aber ich meiner Meinung nach ist die Folge xk(t)=k  ein Gegenbeispiel bezüglich Lipschitz Stetigkeit, aber wie genau könnte man zeigen, dass es auf ganz (C[a,b],||.||∞) stetig ist ?

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Im Folgenden bezeichne \(\| \cdot \|_\infty \) die Supremumsnorm (d.h. man setzt eine Funktion ein) und \(|\cdot |\) den ganz normalen reellen Betrag (d.h. dort setzt man eine Zahl ein).

Zunächst muss man bemerken, dass \(C([a,b])\) ein \(\mathbb{R}-\)Vektorraum ist, dessen Elemente (Vektoren) Funktionen sind. Die Abbildung \(f\) bildet also von einem Vektorraum in dessen Grundkörper ab, man spricht hier in diesem Fall von einem Funktional. Das ist im Prinzip eine Funktion, die als Argument eine andere Funktion aufnimmt und dann eine Zahl ausspuckt.

Die Definition der Stetigkeit in einem Punkt \(y\) sagt gerade:

Für jedes \(\varepsilon > 0\) gibt es ein \(\delta > 0\), sodass für alle \(x\in C([a,b])\) (d.h. \(x\) ist eine Funktion!) mit \(\|x-y\|_\infty < \delta \) gilt: \( |f(x)-f(y)| < \varepsilon .\)

Eingesetzt bedeutet es, dass unter der Annahme \(\|x-y\|_\infty < \delta \) gezeigt werden soll, dass

$$ |f(x)-f(y)| = \left|\int_a^b x^2(t) - y^2(t)\,dt\right| < \varepsilon.$$

Jetzt die dritte binomische Formel im Integranden nutzen und danach die "Dreiecksungleichung" für Integrale und dann ist man auch schon fast fertig mit dem Beweis der Stetigkeit.

von 1,7 k
0 Daumen

Hi,
$$ |f(x) - f(y)| = \left| \int_a^b \left[ x^2(t) - y^2(t) \right] dt \right| \le \int_a^b\left[|(x(t)-y(t)| \cdot |x(t)+y(t)|\right] $$ $$\le M \cdot \int_a^b |x(t)-y(t)| dt  $$
Mit \( M = 2\cdot Max\left\{ \| x \|_\infty , \|y\|_\infty  \right\}  \)
Also gilt auch
$$ |f(x)-f(y)| \le M(b-a)\|x-y\|_\infty $$
Damit ist \( f \) Lipschitzstetig mit der Lipschitzkonstante \( L = M(b-a)  \)

von 33 k

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