Konvergente Folge an: Grenzwert und Ungleichung beweisen

Question

Hallo liebe Leute,

ich habe ein kleines Problem bei einer Aufgabe für die Uni:

Die Aufgabe lautet -

Betrachten Sie die Folge an definiert als a₁=1 und a_n= 1 / (3-a_n-1)

a) Beweisen Sie: a_n² - 3a_n + 1 ≤ 0 für alle n∈ℕ

b) Die Folge (a_n)∞_n=0 ist konvergent. Berechnen Sie den Grenzwert.

Zu a habe ich das schon mit umformen probiert, also für a_n die Bruchdefinition zu wählen, aber da kam ich (wenn ich mich natürlich nicht verrechnet habe) immer noch auf keine eindeutige Ungleichung.

Zu b: Mein wesentliches Problem ist, dass ich natürlich weiß, wie man Grenzwerte bestimmt, allerdings bringt mich das a_n, statt des gewöhnlichen n ,sehr durcheinander, und ich weiß nicht, wie ich meinen Grenzwert aufschreiben soll.

Lim _n → ∞ an = (Lim _n → ∞ 1) / ((Lim _n → ∞ 3)-(Lim _n → ∞ a_n-1)) = 1 / (3 - (Lim _n → ∞ a_n-1)) .

Soweit richtig gedacht?

Habt ihr Tipps für mich?

Liebe Grüße

Answer 1

Lim _n → ∞ an = (Lim _n → ∞ 1) / ((Lim _n → ∞ 3)-(Lim _n → ∞ a_n-1)) = 1 / (3 - (Lim _n → ∞ a_n-1)) .

Soweit richtig gedacht?  ungefähr jedenfalls, wenn du weisst, dass es einen GW gibt

(und das ist ja gesagt) dann nenne ihn einfach g. 

mit deinen Gleichung oben  und der Idee  a_n hat den gleichen GW wie a_n-1   ) hast du

g = 1 /  ( 3-g)   und das ist eine Gleichung die du lösen kannst.

von den beiden Lösungen erfüllt allerdings nur eine die Bedingung von a, die

ist die richtige.

und zum Nachweis von a) nimmst du vollst. Induktion: für 1 ist klar

und gelte es für n-1 dann formst du um:

1   -  3 a_n-1   +  a_n-1 ²   ≤ 0

1   + 3 a_n-1   - 6 a_n-1   +  a_n-1 ²   ≤ 0

1   -9   + 3 a_n-1    +9    - 6 a_n-1   +  a_n-1 ²   ≤ 0

1   -3*(3   -  a_n-1 )   +   ( 3 -   a_n-1 ) ^2    ≤ 0           da   ( 3 -   a_n-1 ) ^2   kannst du teilen

1 /   ( 3 -   a_n-1 ) ^2      - 3 /   ( 3 -   a_n-1 )      +   1    ≤ 0         und das ist

a_n ²                   - 3 a_n                   +             1          ≤ 0              q.e.d.