Vereinfachung der folgenden Gleichung: f(x) = - (COSH(x)·(COSH(x) + 1)^2 - 2·(COSH(x) + 1)·SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^4

Question

Ich musste die dritte Ableitung von f(x)=sinh(x)/(cosh(x)+1) bestimmen. Hab das bis zu einem bestimmten Punkt gemacht und das Ergebnis mit dem Ableitungsrechner überprüft.

\( =-\frac{\cosh (x) \cdot(\cosh (x)+1)^{2}-2 \cdot(\cosh (x)+1) \cdot(\sinh (x))^{2}}{(\cosh (x)+1)^{4}} \)

Umschreiben bzw. vereinfachen:

\( =\frac{\cosh (x)-2}{(\cosh (x)+1)^{2}} \)

Dieser hat genau das gleiche Ergebnis wie ich, nur dass er das Ergebnis vereinfacht darstellt. Allerdings verstehe ich nicht genau wie man darauf kommt hab versucht (cosh(x)+1) zu kürzen hatte dann aber im Ergebnis hoch 3 stehen.

Über einen Lösungsweg würde ich mich freuen.

Answer 1

- (COSH(x)·(COSH(x) + 1)^2 - 2·(COSH(x) + 1)·SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^4

- (COSH(x)·(COSH(x) + 1) - 2·SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^3

- (COSH(x)^2 + COSH(x) - 2·SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^3

- (COSH(x)^2 - SINH(x)^2 + COSH(x) - SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^3

Benutze COSH(x)^2 - SINH(x)^2 = 1

- (1 + COSH(x) - SINH(x)^2) / (COSH(x) + 1)^3

Benutze SINH(x)^2 = COSH(x)^2 - 1

- (1 + COSH(x) - (COSH(x)^2 - 1)) / (COSH(x) + 1)^3

3. binomische Formel

- (1 + COSH(x) - (COSH(x) + 1)(COSH(x) - 1)) / (COSH(x) + 1)^3

- ((1 + COSH(x)) - (COSH(x) + 1)(COSH(x) - 1)) / (COSH(x) + 1)^3

- (1 - (COSH(x) - 1)) / (COSH(x) + 1)^2

- (2 - COSH(x)) / (COSH(x) + 1)^2

(COSH(x) - 2) / (COSH(x) + 1)^2