Zeige das die Funktion kein lokales Minimum hat aber auf jeder Geraden ein Minimum im Ursprung.

Question

Zeige, dass die Funktion : f(x,y)= 2x^2 - 3xy^2 + y^4 im Punkt (0,0) kein lokales Minimum hat, jedoch auf jeder geraden durch (0,0) ein Minimum im Ursprung aufweist.

Also ich habe zunächst abgeleitet: Ableitung nach x f(x,y)'= 4x-3y^2 und f(x,y)'' = 4.Und jetzt ist die Frage wäre 4 nicht ein Minimum der Funktion?
Wäre sehr schön, wenn mir jemand helfen könnte.Danke

Comments

Warum sollte denn ein Wert einer zweiten Ableitung ein Minimum sein?

---

Na wenn f''(x)>0, dann ist es doch ein lokales Minimum?

---

Bitte wiederhole die Grundlagen!

---

Zur Krümmung von f ´´ = 4. Dies bedeutet
Beispiel
f ( x ) = 2 * x^2
f ´( x ) = 4 * x
f ´´( x ) = 4

Die Funktion hat über Ihren gesamten Bereich die Krümmung 4.
Natürlich hat Sie auch im Extrempunkt diese Krümmung.
Der Extrempunkt wäre ein Tiefpunkt.

~plot~ 2 * x^2 ~plot~

Answer 1

f(x,y)= 2x² - 3xy² + y⁴

Du hast nicht bedacht, dass es eine Funktion von 2 Variablen ist.
Da musst du beide partiellen Ableitungen betrachten und
nachher die Definitheit der Hesse-Matrix.

Geht hier aber auch einfacher:
In jeder Umgebung von (0;0) liegt ein Punkt (a^2 ; a/2 ) mit a ungleich 0.
und es ist f( a^2 ; a/2 ) = 2a^4 - 3a^2 * a^2 / 4  + a^4 / 16 = -11/16 a^4 < 0
und f(0;0) = 0 also größer als -11/16 a^4 und damit kein Min.

Aber auf einer Geraden betrachtet, hat man ja die Punkte ( x ; mx ) mit m aus IR.
Da ist f ( x ; mx )= 2x^2 - 3m^2 x^3 + m^4 x^4   =  g (x)  und das ist eine Funktion einer
Variablen  ( m ist ja eine Konstante).
Und g ' (x) = 4x - 9m^2 x^2  +  4m^4 x^3
und g ' ' (x) = 4 - 18m^2 x  +  12 m^4 x^2 
und es ist g ' (0) = 0 und g ' ' (o) > 0 also bei 0 ein lok. Min.

Comments

Hallo zusammen, ich habe eine Frage zu dieser Antwort:

„ Geht hier aber auch einfacher:
In jeder Umgebung von (0;0) liegt ein Punkt (a^2 ; a/2 ) mit a ungleich 0. “

wie kommt man auf den Punkt (a^2 ; a/2 )?

Ich wäre über eine Antwort sehr dankbar:)