Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Max Recht, dass der Tetraeder gefälscht ist

Question

Ein Tetraeder hat auf den vier Seiten die Ziffern 1,1,2,3.

c)
Max vermutet, dass das Tetraeder mit einem gefälschten Tetraeder ausgetauscht wurde, weil bei den letzten 4 Würfen des Tetraeders dreimal eine drei gekommen ist. Bei dem gefälschten Tetraeder ist die Wahrscheinlichkeit für eine drei auf 3/4 erhöht.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat MAx recht?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt sich Max?

Answer 1

Aus der Art der Aufgabenstellung kann man erkennen, dass es um einen Hypothesentest (Alternativtest) gehen soll. Leider ist die Aufgabe jedoch zu unpräzise gestellt.

Wenn der Würfel nicht gefälscht ist, beträgt die WS, dass man von 4 Würfen 3x die Drei würfelt, (1/4)^3 * (3/4) * 4. Dazu kommt noch die WS 4x eine Drei zu würfen: (1/4)^4. Insgesamt sind das 5,1%. Ist der Würfel nicht gefälscht, würfelt man also mit 5,1% mindestens 3x eine Drei und mit 94,9% nicht.

Ist der Würfel jedoch gefälscht, beträgt die WS, dass man von 4 Würfen mindestens 3x die Drei würfelt, (3/4)^3 * (1/4) * 4 + (3/4)^4 = 73,8% und 26,2% dass nicht.

Man kann die Frage also nur wie folgt beantworten:
WENN der Würfel fair ist, beträgt Max' Irrtumswahrscheinlichkeit 5,1% ("Alpha-Fehler") und WENN der Würfel gefälscht ist, beträgt seine Irrtumswahrscheinlichkeit 26,2% ("Beta-Fehler").

Über die Wahrscheinlichkeit, dass sich Max generell irrt, lässt sich keine Aussage machen.
Der Autor der Aufgabe (Bigalke/Köhler, Cornelsen-Verlag) sollte die Aufgabenstellung bitte korrigieren.

Answer 2

Leider ist hier nicht gesagt mit welcher Wahrscheinlichkeit der Würfel wohl ausgetauscht worden ist. Daher nehme ich hier mal eine Wahrscheinlichkeit von 1/2 an.

P(Max hat recht) = 0.5·4·(3/4)^3·(1/4) / (0.5·4·(3/4)^3·(1/4) + 0.5·4·(1/4)^3·(3/4)) = 90%

P(Max irrt sich) = 10%

So eine Aufgabe hatte mal ein Schüler von mir in einer Arbeit. Da sollte man auch die Wahrscheinlichkeit von 0.5 annehmen. Ich halte das aber eigentlich für verkehrt. Ich kann denke ich nicht einfach für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit 50:50 annehmen.

Wenn wir also vorher gehört haben das in 10% aller Spielcasinos die Tetraeder ausgetauscht worden sind hat Max nur noch mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% recht.