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lim (x -> 1)  (x^2 + x - 2) / (x - 1)

ich muss den grenzwert finden, wenn x gegen 1 geht. Kann jemand mir helfen, ich weiss nicht mehr wie man es findet. LG
von

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Achtung: Division durch 0 ist nicht erlaubt!

Der Definitionsbereich des Quotienten ist IR ohne x=1. Man darf also x=1 nicht einsetzen. Aber man darf umformen unter der Voraussetzung x≠1.

f(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1) =

      |faktorisieren des Zählers schlimmstenfalls mit Formel für quadr. Gleichungen

= ((x-1)(x+2)) / (x-1)

      |kürzen

= x+2    für x≠1. Für x=1 hat f(x) eine Definitionslücke. (vgl. oben).

Eigentlich musst du nun EPSILON > 0 betrachten und erst von rechts 1+ EPSILON und dann von links 1- EPSILON einsetzen und EPSILON gegen 0 gehen lassen. Von beiden Seiten ergibt sich im Grenzwert 3.

Hier darfst du nun in f(x) = x+2, für x≠1, tatsächlich x=1 einsetzen, weil 1+2 = 3 ist der Grenzwert für x gegen 1 tatsächlich 3.

Graphische Interpretation bei einem ähnlichen Beispiel hier: https://www.mathelounge.de/24667/bestimme-grenzwert-definitionslucke-und-unendlichen-von
von 162 k 🚀
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dann setze einmal ein

lim (x -> 1)  (x^2 + x - 2) ÷ (x - 1) = ( 1 + 1 - 2 ) + ( 1 - 1 ) = 0 + 0 = 0

mfg Georg
von 111 k 🚀
Korrektur :

ich habe das geteilt-Zeichen als plus-Zeichen gelesen

Richtig : ( x^2 + x - 2) / (x - 1) = x + 2

lim x -> 1 = 1 + 2 = 3

mfg Georg
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\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { { x }^{ 2 }+x-2 }{ x-1 }  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { \left( x+2 \right) \left( x-1 \right)  }{ \left( x-1 \right)  }  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( x+2 \right)  } =1+2=3

Diese Rechnung sollte ausreichen. Sie ist bei rationalen Termen immer möglich, wenn die Vielfachheit der Nennernullstelle, gegen die die x-Werte laufen, nicht größer ist als die Vielfachheit der entsprechenden Zählernullstelle. In diesen Fällen können die für die Nennernullstellen verantwortlichen Linearfaktoren vollständig gegen den Zähler gekürzt werden und der Grenzwert entspricht dem Wert des gekürzten Terms an der ehemaligen Nennernullstelle.

von

Wie bist du auf (x+2) * (x-1) gekommen, verstehe nicht wie ich das ausklammern kann :(

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